자연계열 II 2번

(1) 임의의 실수 $\displaystyle x$와 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle f(nx)=\{f(x)\}^{n}$과 $\displaystyle f\left(\frac{x}{n}\right)=\sqrt[n]{f(x)}$이 성립함을 보이시오.풀이: 수학적 귀납법에 의하여 임의의 실수 $\displaystyle x$와 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(x)^{n}$의 값은 구간 $\displaystyle [nx,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값이다. 그리고 $\displaystyle a\le b$에 대하여 $\displaystyle f(a)\cdot f(a)=f(a)^{2}$은 구간 $\displaystyle [2a,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값이고 $\displaystyle f(b)^{2}$은 구간 $\displaystyle [2b,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값이다. 그런데 $\displaystyle a\le b$라고 가정하였으므로 $\displaystyle [2b,\infty)\subseteq[2a,\infty)$가 성립하므로 구간 $\displaystyle [2b,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값은 구간 $\displaystyle [2a,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값보다 같거나 작다. 따라서 $\displaystyle f(a)^{2}\le f(b)^{2}$가 성립하고 함수 $\displaystyle f$의 치역이 양의 실수 집합이라고 하였으므로 $\displaystyle f(a)\le f(b)$도 성립하여 함수 $\displaystyle f$는 증가함수이다. 따라서 구간 $\displaystyle [nx,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값은 $\displaystyle f(nx)$이고, $\displaystyle f(nx)=\{f(x)\}^{n}$이 성립한다.Correction. 구간 $\displaystyle [2b,\infty)$에서의 최솟값을 비교한 문장의 ‘같거나 작다’는 ‘같거나 크다’의 오기다. 구간을 좁히면 최솟값은 작아질 수 없다. 이어지는 부등식 $\displaystyle f(a)^2\le f(b)^2$는 옳다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{x}{n}=a$라 하면 $\displaystyle x=na$이고 $\displaystyle f(x)=f(na)=f(a)^{n}$이다. 함수 $\displaystyle f$의 치역이 양의 실수 집합이므로$\displaystyle f\left(\frac{x}{n}\right)=f(a)=\sqrt[n]{f(x)}$이 성립한다.$\displaystyle f(0)\cdot f(0)=f(0)^{2}$은 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값이고 $\displaystyle f$는 증가함수이므로 $\displaystyle f(0)^{2}=f(0)$이 성립하며, 함수 $\displaystyle f$의 치역이 양의 실수 집합이므로 $\displaystyle f(0)=1$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)\cdot f(-x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값인 $\displaystyle f(0)=1$과 같다. 그러므로$\displaystyle f(-x)=\frac{1}{f(x)}$이 성립한다.

(2) 임의의 실수 $\displaystyle x$와 임의의 유리수 $\displaystyle q$에 대하여, $\displaystyle f(qx)=\{f(x)\}^{q}$이 성립함을 보이시오.풀이: $\displaystyle q=0$이면, $\displaystyle f(qx)=f(0)=1$이고 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle \{f(x)\}^{q}=\{f(x)\}^{0}=1$이다.$\displaystyle q$가 양의 유리수이면, 적당한 자연수 $\displaystyle n,m$이 존재하여 $\displaystyle q=\frac{n}{m}$이다. 그러므로 위 (1)번 문항에 의하여$\displaystyle f(qx)=f\left(n\cdot\frac{x}{m}\right)=\left\{f\left(\frac{x}{m}\right)\right\}^{n}=\{f(x)\}^{\frac{n}{m}}=\{f(x)\}^{q}$이 성립한다.$\displaystyle q$가 음의 유리수이면, 적당한 자연수 $\displaystyle n,m$이 존재하여 $\displaystyle q=-\frac{n}{m}$이고 $\displaystyle qx=-\frac{n}{m}x$다. 그러므로 위 (1)번 문항과 양의 유리수의 경우에 의하여$\displaystyle f(qx)=f\left(-\frac{n}{m}x\right)=\frac{1}{f\left(\frac{n}{m}x\right)}=\frac{1}{\{f(x)\}^{\frac{n}{m}}}=\{f(x)\}^{-\frac{n}{m}}=\{f(x)\}^{q}$이 성립한다.

(3) 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이면 함수 $\displaystyle f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속임을 보이시오.풀이: 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)$가 성립한다. 함수 $\displaystyle f$가 실수 전체의 집합에서 연속임을 보이기 위하여 임의의 $\displaystyle 0$이 아닌 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle \lim_{t\to a}f(t)=f(a)$이 성립함을 보여야 한다.$\displaystyle f(t)=f(t-a+a)$로 나타낼 수 있으며 $\displaystyle f(t-a)\cdot f(a)$는 구간 $\displaystyle [t,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f$의 최솟값이므로 $\displaystyle f(t-a)\cdot f(a)=f(t)$이어서 $\displaystyle f(t)=f(t-a+a)=f(t-a)\cdot f(a)$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle f(0)=1$에 의하여$\displaystyle f(t)-f(a)=f(t-a)\cdot f(a)-f(a)=f(a)\{f(t-a)-1\}=f(a)\{f(t-a)-f(0)\}$이고, $\displaystyle t\to a$이기 위한 필요충분조건이 $\displaystyle t-a\to0$이므로 $\displaystyle t-a=x$로 나타내면$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to a}f(t)-f(a)&=\lim_{t-a\to0}f(a)\{f(t-a)-f(0)\}\\&=\lim_{x\to0}f(a)\{f(x)-f(0)\}\\&=f(a)\cdot\lim_{x\to0}\{f(x)-f(0)\}\\&=f(a)\cdot0\\&=0\end{aligned}$이 성립한다. 그러므로 함수 $\displaystyle f$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(4) 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하면 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)f(x)$이 성립함을 보이시오.풀이: 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle 0$에서 미분가능하므로$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}=f^{\prime}(0)$이 존재한다. 그러므로 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}=f(x)f^{\prime}(0)$이 존재하여 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f(x)f^{\prime}(0)$이 성립한다.