자연계열 II 1번

(1) 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 만나는 점의 좌표를 모두 구하시오.풀이: 조건 (가)와 (나)에 의해 $\displaystyle f(2)=f(-2)=1$이므로 $\displaystyle f(2)=f(-2)=g(2)=g(-2)=1$이다. 따라서, 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 만나는 두 점의 좌표는 $\displaystyle (-2,1)$와 $\displaystyle (2,1)$이다.

(2) 문항 (1)에서 구한 두 점의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle a,b$ ($\displaystyle a<b$)라 하자. $\displaystyle a\le x\le b$일 때, 부등식 $\displaystyle f(x)\ge g(x)$이 성립함을 보이시오.풀이: 문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle a=-2$, $\displaystyle b=2$이고, 조건 (다)에 의해 $\displaystyle -2\le x\le2$에서 $\displaystyle f(x)-g(x)\ge0$ 또는 $\displaystyle f(x)-g(x)\le0$이다. 조건 (다)에 의해 $\displaystyle \int_{0}^{2}\{f(x)+g(x)\}dx=-6$임을 알 수 있고, $\displaystyle 2\int_{0}^{2}g(x)dx=2\int_{0}^{2}(x^{2}-3)dx=-\frac{10}{3}$이므로,Correction. 적분값 $\displaystyle -6$의 근거로 적힌 조건 (다)는 조건 (라)의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. $\displaystyle 2\int_0^2g(x)dx$의 값은 $\displaystyle -\frac{10}{3}$이 아니라 $\displaystyle -\frac{20}{3}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \int_{0}^{2}\{f(x)-g(x)\}dx=\int_{0}^{2}\{f(x)+g(x)\}dx-2\int_{0}^{2}g(x)dx=\frac{2}{3}>0$가 된다. $\displaystyle 0\le x\le2$에서 $\displaystyle f(x)-g(x)$의 부호는 변하지 않으므로 $\displaystyle |f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)$ 또는 $\displaystyle |f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)$이다. $\displaystyle y$축과 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int_{0}^{2}|f(x)-g(x)|dx$으로 나타낼 수 있고, $\displaystyle \int_{0}^{2}\{f(x)-g(x)\}dx=\frac{2}{3}$이므로, $\displaystyle 0\le x\le2$에서$\displaystyle f(x)-g(x)=|f(x)-g(x)|\ge0$임을 알 수 있다. $\displaystyle f(-x)=f(x)$, $\displaystyle g(-x)=g(x)$역시 만족하므로, $\displaystyle -2\le x\le2$에서 $\displaystyle f(x)\ge g(x)$이다.

(3) 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.풀이: 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 $\displaystyle y$축 대칭이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)-g(x)$의 그래프 역시 $\displaystyle y$축 대칭이다. 문항 (2)의 결과로부터 $\displaystyle -2\le x\le2$에서 $\displaystyle f(x)\ge g(x)$이므로 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{-2}^{2}|f(x)-g(x)|dx=\int_{-2}^{2}\{f(x)-g(x)\}dx=2\int_{0}^{2}\{f(x)-g(x)\}dx=\frac{4}{3}$이다.