자연계열 I 2번

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}(-45,0)$을 지나는 직선이 원 $\displaystyle C$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(m,n)$ (단, $\displaystyle m,n$은 자연수)을 지날 때, 이 직선의 기울기가 $\displaystyle 0$보다 크고 $\displaystyle 1$보다 작은 유리수임을 보이시오.풀이: 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}(-45,0)$, $\displaystyle \mathrm{Q}(m,n)$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{n}{m+45}$이다. $\displaystyle m^{2}+n^{2}=45^{2}=2025$이고 $\displaystyle m,n$이 자연수이므로 $\displaystyle 0<n<45$이고 $\displaystyle 45<m+45$이다. 따라서 $\displaystyle 0<\frac{n}{m+45}<1$이다.

(2) 점 $\displaystyle \mathrm{P}(-45,0)$을 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이인 유리수 $\displaystyle \frac{p}{q}$ (단, $\displaystyle p,q$는 서로소인 자연수)일 때, 이 직선이 1사분면과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(m,n)$의 좌표를 $\displaystyle p,q$에 관한 식으로 나타내시오.풀이: 점 $\displaystyle \mathrm{P}(-45,0)$을 지나고 기울기가 $\displaystyle \frac{p}{q}$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{p}{q}(x+45)$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(m,n)$의 $\displaystyle x$ 좌표 $\displaystyle m$, $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle n$은$\displaystyle m^{2}+n^{2}=2025,\ n=\frac{p}{q}(m+45)$을 만족하는 두 자연수이다. 식을 정리하면,Comment. 여기서 $\displaystyle m,n$은 일반적으로 양의 유리수이며, 자연수인 경우는 (3)에서 따로 구한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{p^{2}}{q^{2}}(m+45)^{2}=45^{2}-m^{2}$이 되어 양변을 $\displaystyle m+45$로 나누고 $\displaystyle q^{2}$을 곱하면,$\displaystyle p^{2}(m+45)=q^{2}(45-m)$이 되어 $\displaystyle m=\frac{45(q^{2}-p^{2})}{p^{2}+q^{2}}$이고 $\displaystyle n=\frac{p}{q}(m+45)=\frac{90pq}{p^{2}+q^{2}}$이다.

(3) $\displaystyle m^{2}+n^{2}=2025$를 만족시키는 자연수 $\displaystyle m,n$에 대하여 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$을 모두 구하시오.풀이: (1), (2)에 의해, $\displaystyle m^{2}+n^{2}=2025$를 만족하는 모든 자연수 $\displaystyle m,n$에 대해,$\displaystyle m=\frac{45(q^{2}-p^{2})}{p^{2}+q^{2}},\ n=\frac{p}{q}(m+45)=\frac{90pq}{p^{2}+q^{2}}$을 만족하고 서로소인 두 자연수 $\displaystyle p,q$가 존재하고 $\displaystyle p<q$이다. $\displaystyle p,q$가 서로소이므로 $\displaystyle pq$와 $\displaystyle p^{2}+q^{2}$은 서로소이다. 따라서 $\displaystyle p^{2}+q^{2}$은 $\displaystyle 90$의 약수이다. 이를 만족하는 서로소인 두 자연수 $\displaystyle p,q$는 $\displaystyle p=1,q=2$ 혹은 $\displaystyle p=1,q=3$이다. 해당하는 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$은 $\displaystyle (27,36)$, $\displaystyle (36,27)$이다.