자연계열 I 1번

1-(1) 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{6}\right]$에서 정의된 함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle g(x)=f(x)\sin2x$일 때, $\displaystyle g(x)$는 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{6}\right]$에서 증가함을 보이시오.[풀이] 함수 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하므로 $\displaystyle g(x)=f(x)\sin2x$도 미분가능하다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 연속이고$\displaystyle g^{\prime}(x)=2f(x)\cos2x+f^{\prime}(x)\sin2x$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)$은 연속함수이다.

$\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{6}$인 실수 $\displaystyle x$에 대해서, $\displaystyle \cos2x>0$이고, 조건 (가)에 의해Correction. $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$의 근거로 적힌 조건 (가)는 조건 (나)의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle g^{\prime}(x)=(2f(x)+f^{\prime}(x)\tan2x)\cos2x>0$이다.

따라서 $\displaystyle g(x)=f(x)\sin2x$는 증가한다.

1-(2) (1)에서 언급한 함수 $\displaystyle g(x)$의 역함수를 $\displaystyle h(x)$라 할 때, $\displaystyle h(0)$과 $\displaystyle h(3)$의 값을 각각 구하시오.[풀이] $\displaystyle g(0)=f(0)\times\sin0=0$이고 $\displaystyle g\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{\pi}{6}\right)\times\sin\frac{\pi}{3}=3$이다.

따라서 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle g(x)$의 역함수이므로 $\displaystyle h(0)=0$, $\displaystyle h(3)=\frac{\pi}{6}$이다.

1-(3) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}xf(x)\cos2x\,dx=a$, $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}xf^{\prime}(x)\sin2x\,dx=b$인 실수 $\displaystyle a,b$와 (2)에서 언급한 $\displaystyle h(x)$에 대하여, $\displaystyle \int_{0}^{3}h(x)dx$의 값을 $\displaystyle a,b$로 나타내시오.[풀이] (2)의 결과로부터 $\displaystyle h(0)=0$, $\displaystyle h(3)=\frac{\pi}{6}$이므로, 정적분과 넓이의 관계를 통해$\displaystyle \int_{0}^{3}h(x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}g(x)dx=\frac{\pi}{2}$임을 알 수 있다.

또한 부분적분법에 의해$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}g(x)dx=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}xg^{\prime}(x)dx$을 얻는다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{3}h(x)dx&=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}g(x)dx\\&=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}xg^{\prime}(x)dx\right)\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}xg^{\prime}(x)dx\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(2xf(x)\cos2x+xf^{\prime}(x)\sin2x)dx\end{aligned}$임을 알 수 있다. 문제 조건에 의해$\displaystyle \int_{0}^{3}h(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(2xf(x)\cos2x+xf^{\prime}(x)\sin2x)dx=2a+b$이다.