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자연계열 II 3번

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이화여대 2025학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/ewha/2025su/jayeon2_3

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문제

[문항 3] 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}, {bn}\displaystyle \{b_{n}\}, {cn}\displaystyle \{c_{n}\}을 다음과 같이 정의할 때,an=∫0π2cos⁡n−1x dx, bn=a2n+1a2n,cn=a2n−1a2n\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}x\,dx,\ b_{n}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}},\quad c_{n}=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}아래 물음에 답하시오. [30점]

(1) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}임을 보이시오.

(2) 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}이 수렴할 때, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}의 값과 lim⁡n→∞cn\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}의 값을 각각 구하시오.

(3) 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}이 수렴할 때, lim⁡n→∞12×32×⋯×(2n−1)222×42×⋯×(2n)2×n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}\times3^{2}\times\cdots\times(2n-1)^{2}}{2^{2}\times4^{2}\times\cdots\times(2n)^{2}}\times n의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

이화여대 2025학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/ewha/2025su/jayeon2_3

+1점 · cos⁡x=(sin⁡x)′\displaystyle \cos x=(\sin x)^{\prime}의 변형.
+3점 · 부분적분을 이용하여 an+2=nan−nan+2\displaystyle a_{n+2}=na_{n}-na_{n+2}를 구함.

3-(1) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}임을 보이시오.[풀이] 각 자연수 n\displaystyle n에 대하여, 부분적분법을 이용하면,an+2=∫0π2cos⁡n+1x dx=∫0π2cos⁡nx(sin⁡x)′dx=[cos⁡nxsin⁡x]0π2−∫0π2(cos⁡nx)′sin⁡x dx=n∫0π2cos⁡n−1xsin⁡2x dx=nan−nan+2\displaystyle \begin{aligned}a_{n+2}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n+1}x\,dx\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x(\sin x)^{\prime}dx\\&=\Biggl[\cos^{n}x\sin x\Biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{n}x)^{\prime}\sin x\,dx\\&=n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}x\sin^{2}x\,dx\\&=na_{n}-na_{n+2}\end{aligned}

+1점 · an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n} 결과 도출.

이므로 an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}이다.

+3점 · an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}을 이용하여 cn=2n2n−1bn\displaystyle c_{n}=\frac{2n}{2n-1}b_{n}를 도출.

3-(2) 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}이 수렴할 때, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}의 값과 lim⁡n→∞cn\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}의 값을 각각 구하시오.[풀이] an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}을 이용하면 bn=a2n+1a2n=2n−12n×a2n−1a2n=2n−12ncn\displaystyle b_{n}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=\frac{2n-1}{2n}\times\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}=\frac{2n-1}{2n}c_{n}임을 알 수 있고, cn=2n2n−1bn\displaystyle c_{n}=\frac{2n}{2n-1}b_{n}이다.

+2점 · 수열의 극한의 기본 성질을 이용하여 lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞cn\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}임을 도출.

lim⁡n→∞2n2n−1=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n-1}=1이므로 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이용하면lim⁡n→∞cn=lim⁡n→∞(2n+12n)×lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\times\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}Correction. 앞서 구한 cn\displaystyle c_n과 bn\displaystyle b_n의 관계에 맞추면 계수는 2n+12n\displaystyle \frac{2n+1}{2n}이 아니라 2n2n−1\displaystyle \frac{2n}{2n-1}이다. 극한값에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.임을 알 수 있다.

+3점 · 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 정의 및 정적분의 성질로부터 an+1≤an\displaystyle a_{n+1}\le a_{n}임을 도출.

한편, 0≤x≤π2\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}에서 0≤cos⁡x≤1\displaystyle 0\le\cos x\le1이므로 각 자연수 n\displaystyle n에 대하여 0≤cos⁡nx≤cos⁡n−1x\displaystyle 0\le\cos^{n}x\le\cos^{n-1}x임을 알 수 있고, 따라서 0≤x≤π2\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}에서 cos⁡n−1x\displaystyle \cos^{n-1}x와 cos⁡nx\displaystyle \cos^{n}x로 둘러싸인 도형의 넓이는 ∫0π2(cos⁡n−1x−cos⁡nx)dx≥0\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{n-1}x-\cos^{n}x)dx\ge0이다. 정적분의 성질로부터an+1=∫0π2cos⁡nx dx≤∫0π2cos⁡n−1x dx=an\displaystyle a_{n+1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}x\,dx=a_{n}임을 알 수 있고,

+2점 · an+1≤an\displaystyle a_{n+1}\le a_{n}을 이용하여 bn≤1\displaystyle b_{n}\le1, cn≥1\displaystyle c_{n}\ge1를 도출.

이를 이용하면 bn=a2n+1a2n≤a2na2n=1\displaystyle b_{n}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}\le\frac{a_{2n}}{a_{2n}}=1이고 cn=a2n−1a2n≥a2na2n=1\displaystyle c_{n}=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}\ge\frac{a_{2n}}{a_{2n}}=1이다.

+2점 · 수열의 극한의 대소 관계 및 두 극한값이 같음을 이용하여 lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞cn=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=1임을 도출.

수열의 극한의 대소관계에 의해 lim⁡n→∞bn≤1\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}\le1이고 lim⁡n→∞cn≥1\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}\ge1이므로 lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞cn=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=1이다.

+3점 · an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}을 이용하여 a2n+1a2n=π4n\displaystyle a_{2n+1}a_{2n}=\frac{\pi}{4n}임을 도출.

3-(3) 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}이 수렴할 때, lim⁡n→∞12×32×⋯×(2n−1)222×42×⋯×(2n)2×n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}\times3^{2}\times\cdots\times(2n-1)^{2}}{2^{2}\times4^{2}\times\cdots\times(2n)^{2}}\times n의 값을 구하시오.[풀이] an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}을 이용하면, a2n+1a2n=n−1na2n−1a2n−2\displaystyle a_{2n+1}a_{2n}=\frac{n-1}{n}a_{2n-1}a_{2n-2}을 알 수 있다. a1=∫0π21dx=π2\displaystyle a_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx=\frac{\pi}{2}과 a2=∫0π2cos⁡x dx=1\displaystyle a_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=1이므로, 위 결과를 귀납적 방법으로 활용하면 a2n+1a2n=π4n\displaystyle a_{2n+1}a_{2n}=\frac{\pi}{4n}이 되고,

+3점 · a2n+1a2n=π4n\displaystyle a_{2n+1}a_{2n}=\frac{\pi}{4n}과 bn\displaystyle b_{n}의 정의로부터 bn=4nπ(a2n+1)2\displaystyle b_{n}=\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}이 됨을 도출.

bn=a2n+1a2n=4nπ(a2n+1)2\displaystyle b_{n}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}이 된다.

+2점 · lim⁡n→∞bn=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=1을 이용하여 lim⁡n→∞4nπ(a2n+1)2=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}=1임을 도출.

따라서 (2)의 결과로부터1=lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞4nπ(a2n+1)2\displaystyle 1=\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}을 얻는다.

+3점 · an+2=nn+1an\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}을 이용하여 12×32×⋯×(2n−1)2×n22×42×⋯×(2n)2=(a3a1)2×(a5a3)2×⋯×(a2n+1a2n−1)2×n\displaystyle \frac{1^{2}\times3^{2}\times\cdots\times(2n-1)^{2}\times n}{2^{2}\times4^{2}\times\cdots\times(2n)^{2}}=\left(\frac{a_{3}}{a_{1}}\right)^{2}\times\left(\frac{a_{5}}{a_{3}}\right)^{2}\times\cdots\times\left(\frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}\right)^{2}\times n을 도출.
+2점 · 위의 결과와 lim⁡n→∞4nπ(a2n+1)2=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}=1의 결과를 바탕으로 수열의 극한의 기본 성질을 이용하여 lim⁡n→∞(12×32×⋯×(2n−1)2×n22×42×⋯×(2n)2)=1π\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^{2}\times3^{2}\times\cdots\times(2n-1)^{2}\times n}{2^{2}\times4^{2}\times\cdots\times(2n)^{2}}\right)=\frac{1}{\pi}임을 도출.

위 극한값의 결과와 a2n+1a2n−1=2n−12n\displaystyle \frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}=\frac{2n-1}{2n}을 이용하면lim⁡n→∞12×32×⋯×(2n−1)222×42×⋯×(2n)2×n=lim⁡n→∞((a3a1)2×(a5a3)2×⋯×(a2n+1a2n−1)2×n)=lim⁡n→∞na12(a2n+1)2=1π×lim⁡n→∞4nπ(a2n+1)2=1π\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}\times3^{2}\times\cdots\times(2n-1)^{2}}{2^{2}\times4^{2}\times\cdots\times(2n)^{2}}\times n\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac{a_{3}}{a_{1}}\right)^{2}\times\left(\frac{a_{5}}{a_{3}}\right)^{2}\times\cdots\times\left(\frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}\right)^{2}\times n\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_{1}^{2}}(a_{2n+1})^{2}\\&=\frac{1}{\pi}\times\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}\\&=\frac{1}{\pi}\end{aligned}이다.

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