자연계열 II 3번

3-(1) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}$임을 보이시오.[풀이] 각 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, 부분적분법을 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned}a_{n+2}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n+1}x\,dx\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x(\sin x)^{\prime}dx\\&=\Biggl[\cos^{n}x\sin x\Biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{n}x)^{\prime}\sin x\,dx\\&=n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}x\sin^{2}x\,dx\\&=na_{n}-na_{n+2}\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}$이다.

3-(2) 수열 $\displaystyle \{b_{n}\}$이 수렴할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}$의 값과 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}$의 값을 각각 구하시오.[풀이] $\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}$을 이용하면 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=\frac{2n-1}{2n}\times\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}=\frac{2n-1}{2n}c_{n}$임을 알 수 있고, $\displaystyle c_{n}=\frac{2n}{2n-1}b_{n}$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n-1}=1$이므로 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\times\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}$Correction. 앞서 구한 $\displaystyle c_n$과 $\displaystyle b_n$의 관계에 맞추면 계수는 $\displaystyle \frac{2n+1}{2n}$이 아니라 $\displaystyle \frac{2n}{2n-1}$이다. 극한값에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.임을 알 수 있다.

한편, $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle 0\le\cos x\le1$이므로 각 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0\le\cos^{n}x\le\cos^{n-1}x$임을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle \cos^{n-1}x$와 $\displaystyle \cos^{n}x$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^{n-1}x-\cos^{n}x)dx\ge0$이다. 정적분의 성질로부터$\displaystyle a_{n+1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}x\,dx=a_{n}$임을 알 수 있고,

이를 이용하면 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}\le\frac{a_{2n}}{a_{2n}}=1$이고 $\displaystyle c_{n}=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}\ge\frac{a_{2n}}{a_{2n}}=1$이다.

수열의 극한의 대소관계에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}\le1$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}\ge1$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=1$이다.

3-(3) 수열 $\displaystyle \{b_{n}\}$이 수렴할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}\times3^{2}\times\cdots\times(2n-1)^{2}}{2^{2}\times4^{2}\times\cdots\times(2n)^{2}}\times n$의 값을 구하시오.[풀이] $\displaystyle a_{n+2}=\frac{n}{n+1}a_{n}$을 이용하면, $\displaystyle a_{2n+1}a_{2n}=\frac{n-1}{n}a_{2n-1}a_{2n-2}$을 알 수 있다. $\displaystyle a_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx=\frac{\pi}{2}$과 $\displaystyle a_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=1$이므로, 위 결과를 귀납적 방법으로 활용하면 $\displaystyle a_{2n+1}a_{2n}=\frac{\pi}{4n}$이 되고,

$\displaystyle b_{n}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}$이 된다.

따라서 (2)의 결과로부터$\displaystyle 1=\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}$을 얻는다.

위 극한값의 결과와 $\displaystyle \frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}=\frac{2n-1}{2n}$을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}\times3^{2}\times\cdots\times(2n-1)^{2}}{2^{2}\times4^{2}\times\cdots\times(2n)^{2}}\times n\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac{a_{3}}{a_{1}}\right)^{2}\times\left(\frac{a_{5}}{a_{3}}\right)^{2}\times\cdots\times\left(\frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}\right)^{2}\times n\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_{1}^{2}}(a_{2n+1})^{2}\\&=\frac{1}{\pi}\times\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\pi}(a_{2n+1})^{2}\\&=\frac{1}{\pi}\end{aligned}$이다.