자연계열 I 2번

2-(1) $\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)dx$의 값을 구하시오.[풀이] 조건 (가)로부터 $\displaystyle 0\le x\le1$에서의 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축 대칭, $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle 1$, $\displaystyle y$축 방향으로 $\displaystyle a-1$만큼 평행이동 하면 $\displaystyle 1\le x\le2$에서의 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프와 같음을 알 수 있다.

이로부터 치환적분법을 이용하면$\displaystyle \int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}(a-1-f(x))dx$임을 알 수 있고,

$\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)dx$의 값은 가로가 $\displaystyle 1$, 세로가 $\displaystyle a-1$인 직사각형의 넓이와 같으므로, $\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)dx=a-1$이다.

2-(2) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 2n\le x\le2n+2$에서의 $\displaystyle f(x)$를 구하시오.[풀이] 조건 (나)로부터 각 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(x)=a^{-n}f(x-2n)$이므로, $\displaystyle y=x-2n$이라 하면 $\displaystyle 2n\le x\le2n+2$일 때, $\displaystyle 0\le y\le2$이고$\displaystyle f(y+2n)=a^{-n}f(y)=\begin{cases}a^{y-n}-a^{-n}&(0\le y\le1)\\a^{1-n}-a^{y-1-n}&(1\le y\le2)\end{cases}$이다.

다시 $\displaystyle x=y+2n$이라 하면 위 식으로부터$\displaystyle f(x)=a^{-n}f(x-2n)=\begin{cases}a^{x-3n}-a^{-n}&(2n\le x\le2n+1)\\a^{1-n}-a^{x-3n-1}&(2n+1\le x\le2n+2)\end{cases}$이다.

2-(3) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=2n$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle S_{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{n}=2025$를 만족시키는 실수 $\displaystyle a$의 값을 구하시오.[풀이] 함수 $\displaystyle f(x)$의 조건문으로부터 $\displaystyle f(0)=f(2)=0$이고, (2)의 결과로 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle f(2k)=f(2k+2)=0$임을 알 수 있다.

$\displaystyle (2k-2,2k)$에서 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle 0$이 아니므로 $\displaystyle S_{n}$은 $\displaystyle 1\le k\le n$에 대하여 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=2k-2$, $\displaystyle x=2k$로 둘러싸인 도형의 넓이를 모두 합한 것과 같음을 알 수 있다.

치환적분법을 이용하면 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=2k-2$, $\displaystyle x=2k$로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{2k-2}^{2k}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x+2k-2)dx=a^{1-k}\int_{0}^{2}f(x)dx=(a-1)a^{1-k}$와 같음을 알 수 있고

따라서$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(a-1)a^{1-k}$가 된다.

$\displaystyle (a-1)a^{1-k}$는 초항이 $\displaystyle a-1$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{a}$인 등비수열이고 $\displaystyle a>1$이므로 등비급수의 합은 수렴하며 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(a-1)a^{1-n}=a$이다.

따라서 $\displaystyle a=2025$이다.