자연계열 I 3번

3-(1) $\displaystyle f(0)=-1$임을 보이시오.[풀이] $\displaystyle f(0)=-(0^{2}-0+1)e^{0}+\int_{0}^{0}e^{0-t}f^{\prime}(t)dt=-e^{0}=-1$이다.

3-(2) 함수 $\displaystyle F(x)$를 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$라 할 때, $\displaystyle F(a)=0$이 되도록 하는 실수 $\displaystyle a$의 값을 모두 구하시오.[풀이] 부분적분법을 적용하면,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{x}e^{-t}f^{\prime}(t)dt&=\Biggl[e^{-t}f(t)\Biggr]_{0}^{x}+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\\&=e^{-x}f(x)-f(0)+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\\&=e^{-x}f(x)+1+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\end{aligned}$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=-(x^{2}-x+1)e^{x}+e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f^{\prime}(t)dt\\&=-(x^{2}-x+1)e^{x}+e^{x}\left(e^{-x}f(x)+1+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\right)\\&=-(x^{2}-x+1)e^{x}+f(x)+e^{x}+e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\end{aligned}$이 된다. 이 식을 정리하면,$\displaystyle e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=e^{x}(x^{2}-x)$이 된다. 양변을 $\displaystyle e^{x}$로 나누면$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=x^{2}-x$를 얻는다.

따라서 $\displaystyle F(a)=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$이다.

3-(3) 함수 $\displaystyle f(x)$의 극값을 구하시오.[풀이] (2)의 결과로부터 $\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=x^{2}-x$이므로, 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle e^{-x}f(x)=2x-1$이 성립한다.

따라서 $\displaystyle f(x)=e^{x}(2x-1)$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=e^{x}(2x+1)$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$인 실수 $\displaystyle x$는 $\displaystyle -\frac{1}{2}$뿐이고,

$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$에서 극솟값 $\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2e^{-\frac{1}{2}}$을 가진다.