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자연계열 I 3번

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이화여대 2025학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/ewha/2025su/jayeon1_3

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문제

[문항 3] 모든 실수 x\displaystyle x에서 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 연속이다. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 다음 식을 만족시킬 때,f(x)+(x2−x+1)ex=∫0xex−tf′(t)dt\displaystyle f(x)+(x^{2}-x+1)e^{x}=\int_{0}^{x}e^{x-t}f^{\prime}(t)dt아래 물음에 답하시오. [30점]

(1) f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1임을 보이시오.

(2) 함수 F(x)\displaystyle F(x)를 F(x)=∫0xe−tf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt라 할 때, F(a)=0\displaystyle F(a)=0이 되도록 하는 실수 a\displaystyle a의 값을 모두 구하시오.

(3) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 극값을 모두 구하시오.

해설강의 준비중

이화여대 2025학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/ewha/2025su/jayeon1_3

+5점 · 주어진 식에 x=0\displaystyle x=0을 대입하여 f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1을 얻음

3-(1) f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1임을 보이시오.[풀이] f(0)=−(02−0+1)e0+∫00e0−tf′(t)dt=−e0=−1\displaystyle f(0)=-(0^{2}-0+1)e^{0}+\int_{0}^{0}e^{0-t}f^{\prime}(t)dt=-e^{0}=-1이다.

+3점 · ∫0xe−tf′(t)dt\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f^{\prime}(t)dt에 부분적분을 적용함.
+5점 · ∫0xe−tf′(t)dt=e−xf(x)+1+∫0xe−tf(t)dt\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f^{\prime}(t)dt=e^{-x}f(x)+1+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt 유도함.

3-(2) 함수 F(x)\displaystyle F(x)를 F(x)=∫0xe−tf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt라 할 때, F(a)=0\displaystyle F(a)=0이 되도록 하는 실수 a\displaystyle a의 값을 모두 구하시오.[풀이] 부분적분법을 적용하면,∫0xe−tf′(t)dt=[e−tf(t)]0x+∫0xe−tf(t)dt=e−xf(x)−f(0)+∫0xe−tf(t)dt=e−xf(x)+1+∫0xe−tf(t)dt\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{x}e^{-t}f^{\prime}(t)dt&=\Biggl[e^{-t}f(t)\Biggr]_{0}^{x}+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\\&=e^{-x}f(x)-f(0)+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\\&=e^{-x}f(x)+1+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\end{aligned}이다.

+3점 · F(x)=∫0xe−tf(t)dt=x2−x\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=x^{2}-x를 유도함.

따라서f(x)=−(x2−x+1)ex+ex∫0xe−tf′(t)dt=−(x2−x+1)ex+ex(e−xf(x)+1+∫0xe−tf(t)dt)=−(x2−x+1)ex+f(x)+ex+ex∫0xe−tf(t)dt\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=-(x^{2}-x+1)e^{x}+e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f^{\prime}(t)dt\\&=-(x^{2}-x+1)e^{x}+e^{x}\left(e^{-x}f(x)+1+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\right)\\&=-(x^{2}-x+1)e^{x}+f(x)+e^{x}+e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\end{aligned}이 된다. 이 식을 정리하면,ex∫0xe−tf(t)dt=ex(x2−x)\displaystyle e^{x}\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=e^{x}(x^{2}-x)이 된다. 양변을 ex\displaystyle e^{x}로 나누면F(x)=∫0xe−tf(t)dt=x2−x\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=x^{2}-x를 얻는다.

각 1점 총 2점 · F(a)=0\displaystyle F(a)=0을 만족하는 실수 a\displaystyle a는 0\displaystyle 0 또는 1\displaystyle 1임을 보임.

따라서 F(a)=0\displaystyle F(a)=0을 만족하는 실수 a\displaystyle a는 0\displaystyle 0 또는 1\displaystyle 1이다.

+3점 · ∫0xe−tf(t)dt=x2−x\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=x^{2}-x의 양변을 x\displaystyle x에 대하여 미분함.

3-(3) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 극값을 구하시오.[풀이] (2)의 결과로부터 ∫0xe−tf(t)dt=x2−x\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt=x^{2}-x이므로, 양변을 x\displaystyle x에 대하여 미분하면 정적분과 미분의 관계에 의하여 e−xf(x)=2x−1\displaystyle e^{-x}f(x)=2x-1이 성립한다.

+3점 · f(x)=ex(2x−1)\displaystyle f(x)=e^{x}(2x-1)를 찾음.

따라서 f(x)=ex(2x−1)\displaystyle f(x)=e^{x}(2x-1)이고 f′(x)=ex(2x+1)\displaystyle f^{\prime}(x)=e^{x}(2x+1)이다.

+2점 · f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0인 실수 x\displaystyle x는 −12\displaystyle -\frac{1}{2}임을 보임.

f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0인 실수 x\displaystyle x는 −12\displaystyle -\frac{1}{2}뿐이고,

+2점 · x=−12\displaystyle x=-\frac{1}{2}의 좌우에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀜을 확인

x=−12\displaystyle x=-\frac{1}{2}의 좌우에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로

+2점

f(x)\displaystyle f(x)는 x=−12\displaystyle x=-\frac{1}{2}에서 극솟값 f(−12)=−2e−12\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2e^{-\frac{1}{2}}을 가진다.

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