자연계열 II 1번

1-(1) 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$에서 점 $\displaystyle \mathrm{A}(0,3)$까지의 거리를 $\displaystyle b$, 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$에서 점 $\displaystyle \mathrm{B}(0,5)$까지의 거리를 $\displaystyle c$라 할 때, $\displaystyle b+c=4$이다. 이때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 그리는 도형 $\displaystyle S$의 방정식을 구하시오.[풀이] $\displaystyle b+c=4$이므로 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-5)^{2}}=4$이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$는$\displaystyle 4x^{2}+3y^{2}-24y+36=0$을 만족시킨다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 그리는 도형 $\displaystyle S$의 방정식은 타원의 방정식$\displaystyle \frac{x^{2}}{3}+\frac{(y-4)^{2}}{4}=1$이다.

1-(2) 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x,y)$에서 점 $\displaystyle \mathrm{A}(0,3)$까지의 거리를 $\displaystyle d$, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$와 $\displaystyle x$축까지의 거리를 $\displaystyle e$라 할 때, $\displaystyle d+e=a$이다. 이때 $\displaystyle y\ge0$인 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 그리는 도형 $\displaystyle T$의 방정식을 구하시오.[풀이] $\displaystyle d+e=a$이고 $\displaystyle y\ge0$이므로 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}+y=a$를 얻는다.

$\displaystyle y$를 이항하여 양변을 제곱하면$\displaystyle x^{2}+(y-3)^{2}=(a-y)^{2}$Caution. 방정식의 양변을 제곱하여 구한 해는 제곱하기 전의 식을 만족하는지 확인해야 한다: 제곱하기 전 식 $\displaystyle \sqrt{x^2+(y-3)^2}=a-y$에서는 $\displaystyle a-y\ge0$이어야 한다. 또한 $\displaystyle d+e\ge|y-3|+y\ge3$이므로 $\displaystyle 0<a<3$에서는 조건을 만족하는 점이 없다. 제곱한 식을 만족하더라도 원래 거리 조건을 만족하지 않는 점은 도형 $\displaystyle T$에 포함할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

즉 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 그리는 도형 $\displaystyle T$의 방정식은 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle 0\le y\le3$이다.

(ii) $\displaystyle a\ne3$인 경우, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x,y)$는 $\displaystyle x^{2}-6y+9=a^{2}-2ay$를 만족시킨다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 그리는 도형 $\displaystyle T$의 방정식은 포물선$\displaystyle y=\frac{1}{2(3-a)}(x^{2}+9-a^{2})=\frac{1}{2(3-a)}x^{2}+\frac{3+a}{2}$의 $\displaystyle x$축 위쪽 부분이다.

(i) $\displaystyle a=3$인 경우, 도형 $\displaystyle T$: $\displaystyle x=0$, $\displaystyle 0\le y\le3$는 타원 $\displaystyle S$와 점 $\displaystyle (0,2)$에서만 만난다.

(ii) $\displaystyle a\ne3$인 경우, 도형 $\displaystyle T$: $\displaystyle y=\frac{1}{2(3-a)}x^{2}+\frac{3+a}{2}$, $\displaystyle y\ge0$는 포물선의 $\displaystyle x$축 위쪽 부분이다. 도형 $\displaystyle T$는$\displaystyle x^{2}=2(3-a)y-9+a^{2}\quad(y\ge0)$을 만족시키고, 도형 $\displaystyle S$는$\displaystyle 4x^{2}=12-3(y-4)^{2}\quad(2\le y\le6)$이므로, 도형 $\displaystyle T$와 도형 $\displaystyle S$의 교점 $\displaystyle (x,y)$의 $\displaystyle y$좌표는$\displaystyle 12-3(y-4)^{2}=8(3-a)y-36+4a^{2}\quad(2\le y\le6)$을 만족시킨다.

식을 정리하면$\displaystyle 3y^{2}-8ay+4a^{2}=0\quad(2\le y\le6)$을 얻는다. 이때, $\displaystyle y=2a,\frac{2a}{3}$임을 알 수 있다.

$\displaystyle a$가 양의 실수이므로 $\displaystyle 2a<2$이거나 $\displaystyle \frac{2a}{3}>6$인 경우, 즉 $\displaystyle a<1$이거나 $\displaystyle a>9$인 경우는 도형 $\displaystyle S$와 도형 $\displaystyle T$는 만나지 않는다.

특별히 포물선 $\displaystyle y=\frac{1}{2(3-a)}x^{2}+\frac{3+a}{2}$의 꼭짓점이 $\displaystyle \left(0,\frac{3+a}{2}\right)$이므로, $\displaystyle 1<a<3$ 또는 $\displaystyle 3<a<9$인 범위에서는 포물선의 꼭짓점 $\displaystyle \left(0,\frac{3+a}{2}\right)$이 타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{3}+\frac{(y-4)^{2}}{4}=1$의 안쪽에 있다. 또한 $\displaystyle a=1$이거나 $\displaystyle a=9$인 경우는 포물선의 꼭짓점 $\displaystyle \left(0,\frac{3+a}{2}\right)$이 타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{3}+\frac{(y-4)^{2}}{4}=1$ 위에 있다.

(ㄱ) $\displaystyle 3<a\le9$인 경우, $\displaystyle 2a>6$이므로 도형 $\displaystyle T$와 도형 $\displaystyle S$의 교점 $\displaystyle (x,y)$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=\frac{2a}{3}$이다.

이때 $\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}<0$이므로 포물선 $\displaystyle y=\frac{1}{2(3-a)}x^{2}+\frac{3+a}{2}$는 직선 $\displaystyle y=\frac{3+a}{2}$의 아래쪽에 있고, 두 도형 $\displaystyle S$와 $\displaystyle T$의 교점은 $\displaystyle \left(\pm\sqrt{\frac{(a-3)(9-a)}{3}},\frac{2a}{3}\right)$이다. 따라서 $\displaystyle 3<a<9$에서는 두 개의 교점을 갖고, $\displaystyle a=9$에서는 한 개의 교점을 갖는다.

(ㄴ) $\displaystyle 1\le a<3$인 경우, $\displaystyle \frac{2a}{3}<2$이므로 도형 $\displaystyle T$와 도형 $\displaystyle S$의 교점 $\displaystyle (x,y)$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=2a$이다.

이때 $\displaystyle \frac{1}{2(3-a)}>0$이므로 포물선 $\displaystyle y=\frac{1}{2(3-a)}x^{2}+\frac{3+a}{2}$는 직선 $\displaystyle y=\frac{3+a}{2}$의 위쪽에 있고, 두 도형 $\displaystyle S$와 $\displaystyle T$의 교점은 $\displaystyle (\pm\sqrt{(a-1)(3-a)},2a)$이다. 따라서 $\displaystyle 1<a<3$에서는 두 개의 교점을 갖고, $\displaystyle a=1$에서는 한 개의 교점을 갖는다.