자연계열 II 2번

2-(1) 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 증가함을 보이시오.[풀이] 실수 $\displaystyle x,y$가 $\displaystyle 0\le x<y$를 만족한다. 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$을 $\displaystyle a_{n}=2^{n}-1$이라 하면, 어떤 자연수 $\displaystyle m,n$에 대하여Correction. 보조수열의 일반항은 $\displaystyle a_n=2^{n-1}-1$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a_{m}\le x<a_{m+1},\ a_{n}\le y<a_{n+1}$이다. $\displaystyle x<y$이므로 $\displaystyle m\le n$을 만족한다.

(i) $\displaystyle m=n$인 경우, $\displaystyle a_{n}\le x<y<a_{n+1}$이다. 함수 $\displaystyle \sqrt{2^{n-1}(x+1)-2^{2n-2}}+2^{n-1}-1$은 구간 $\displaystyle [a_{n},a_{n+1}]$에서 증가하므로$\displaystyle f(a_{n})\le f(x)<f(y)$이다.

(ii) $\displaystyle m<n$인 경우,$\displaystyle a_{m}\le x<a_{m+1}\le a_{n}\le y<a_{n+1}$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$는 각각의 닫힌구간 $\displaystyle [a_{m},a_{m+1}]$, $\displaystyle [a_{m},a_{m+1}]$에서 증가하고Correction. 두 번째 닫힌구간 $\displaystyle [a_m,a_{m+1}]$은 $\displaystyle [a_n,a_{n+1}]$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle f(a_{m})=a_{m},\ f(a_{m+1})=a_{m+1},\ f(a_{n})=a_{n}$이므로$\displaystyle a_{m}\le f(x)<a_{m+1}\le a_{n}\le f(y)$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 증가한다.

2-(2) 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n}=2^{n-1}-1$일 때, $\displaystyle \int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f(x)dx$의 값을 구하시오.[풀이] 자연수 $\displaystyle n$에 대하여,$\displaystyle \int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f(x)dx=\int_{2^{n-1}-1}^{2^{n}-1}\left(\sqrt{2^{n-1}(x+1)-2^{2n-2}}+2^{n-1}-1\right)dx$이고

$\displaystyle t=x+1-2^{n-1}$로 치환하면,$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{2^{n-1}-1}^{2^{n}-1}\left(\sqrt{2^{n-1}(x+1)-2^{2n-2}}+2^{n-1}-1\right)dx\\&=\int_{0}^{2^{n-1}}\left(\sqrt{2^{n-1}t}+2^{n-1}-1\right)dt\\&=\Biggl[\frac{2^{\frac{n+1}{2}}t^{\frac{3}{2}}}{3}+(2^{n-1}-1)t\Biggr]_{0}^{2^{n-1}}\\&=\frac{5}{3}\times2^{2n-2}-2^{n-1}\end{aligned}$이다.

2-(3) 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수를 $\displaystyle g(x)$라 할 때, (2)에서 언급된 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$에 대하여, $\displaystyle \int_{a_{n}}^{a_{n+1}}g(x)dx$의 값을 구하시오.[풀이] (1)의 결과로부터, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(a_{n})=a_{n}$이고, 따라서 $\displaystyle g(a_{n})=a_{n}$이다.

$\displaystyle A_{n}=\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f(x)dx,\ B_{n}=\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}g(x)dx$라 하면,$\displaystyle A_{n}+B_{n}=a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=(2^{n}-1)^{2}-(2^{n-1}-1)^{2}=3\times2^{2n-2}-2^{n}$이다.

(2)의 결과에 의해서 $\displaystyle A_{n}=\frac{5}{3}\times2^{2n-2}-2^{n-1}$이므로 $\displaystyle B_{n}=\frac{4}{3}\times2^{2n-2}-2^{n-1}$이다.