자연계열 1번

1-1[풀이]$\displaystyle b_{1} = a_{1} + ( - 1 ) = 2 - 1 = 1$

그리고 $\displaystyle a_{n} = b_{n} - ( - 1 )^{n}$이므로 $\displaystyle a_{n + 1} - 2 a_{n} - 3 ( - 1 )^{n} = b_{n + 1} - ( - 1 )^{n + 1} - 2 b_{n} + 2 ( - 1 )^{n} - 3 ( - 1 )^{n} = b_{n + 1} - 2 b_{n}$이다.따라서 $\displaystyle b_{n}$에 대한 점화식은 $\displaystyle b_{n + 1} = 2 b_{n}$ 이다.

1-2[풀이]$\displaystyle b_{1} = 1$와 $\displaystyle b_{n + 1} = 2 b_{n}$로부터 $\displaystyle b_{n} = 2^{n - 1}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle a_{m} = 2^{m - 1} - ( - 1 )^{m}$을 얻는다.$\displaystyle \log_{10} 5 \doteq 0.6990$이고, $\displaystyle \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 5$이므로 $\displaystyle \log_{10} 2 \doteq 0.3010$이다.따라서 $\displaystyle \log_{10} a_{m}$의 값은 약 $\displaystyle ( m - 1 ) \times 0.3010$이고 $\displaystyle \log_{10} 10^{50} = 50$이므로$\displaystyle m$은 $\displaystyle ( m - 1 ) \times 0.3010 > 50$을 만족하는 최소 자연수라 할 수 있다.따라서, $\displaystyle \frac{{50}}{0.3010} \doteq 166.11$이므로 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 168$이다.

1-3[풀이]$\displaystyle S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} ( n = 1 , 2 , 3 , . . . )$로 정의되므로$\displaystyle \begin{aligned}S_{2014} &= a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{2014}\\&= ( 2^{0} + 1 ) + ( 2^{1} - 1 ) + \cdots + ( 2^{2013} - 1 )\\&= 2^{0} + 2^{1} + \cdots + 2^{2013} = 2^{2014} - 1\end{aligned}$한편, $\displaystyle a_{2015} = 2^{2014} + 1$ 이므로, $\displaystyle a_{2015} > S_{2014}$ 이다.