자연계열 2번

2-1[풀이]$\displaystyle \int_{0}^{g ( x )} {f ( t ) d t} = x - \ln ( x + 1 )$의 양변을 미분하면 제시문 <나>에 의하여 $\displaystyle f ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x ) = \frac{x}{x + 1}$이고,$\displaystyle f$가 $\displaystyle g$의 역함수이므로 $\displaystyle f ( g ( x ) ) = x$가 된다.따라서 $\displaystyle g^{\prime} ( x ) = \frac{1}{x + 1}$임을 알 수 있다.$\displaystyle g ( 0 ) = 0$이므로 $\displaystyle g ( x ) = \ln ( x + 1 )$이다.

2-2[풀이]$\displaystyle \int_{0}^{a} {} p ( x ) q ( x ) d x = \int_{0}^{\frac{{a}}{2}} {} p ( x ) q ( x ) d x + \int_{\frac{{a}}{2}}^{a} {} p ( x ) q ( x ) d x$ (1)

제시문 <다>와 주어진 조건을 이용하면 식 (1)의 우변의 두 번째 항은$\displaystyle \int_{\frac{{a}}{2}}^{a} {} p ( x ) q ( x ) d x = \int_{\frac{{a}}{2}}^{a} {} p ( a - x ) [ k - q ( a - x ) ] d x$ (2)이제, $\displaystyle t = a - x$로 놓으면 $\displaystyle d t = - d x$이므로 식 (2)의 우변은 다음과 같이 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{{a}}{2}}^{a} {} p ( a - x ) [ k - q ( a - x ) ] d x &= - \int_{\frac{{a}}{2}}^{0} {} p ( t ) [ k - q ( t ) ] d t\\&= k \int_{0}^{\frac{{a}}{2}} {} p ( x ) d x - \int_{0}^{\frac{{a}}{2}} {} p ( x ) q ( x ) d x\end{aligned}$ (3)(3)을 (1)식의 우변 두 번째 항에 대입하면 결과를 얻는다.

2-3[풀이]부분적분법에 의하여$\displaystyle \int_{- 1}^{1} {s^{\prime} ( x ) ( x + 1 ) d x} = ( x + 1 ) \left. s ( x ) \right|_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} {} s ( x ) d x$ (1)

$\displaystyle r$가 원점에 대하여 대칭이므로 제시문 <라>로부터 $\displaystyle r$의 역함수 $\displaystyle s$는 원점대칭이다.따라서 식 (1)에서 $\displaystyle \int_{- 1}^{1} {} s ( x ) d x = 0$이다.주어진 조건에서 $\displaystyle r ( 2 ) = 1$이므로 $\displaystyle s ( 1 ) = 2$이며, 제시문 <다>로부터 $\displaystyle s ( - 1 ) = - 2$임을 알 수 있다.Correction. 제시문 <다>는 <라>의 오기이다. $\displaystyle s(-1)=-s(1)=-2$를 얻는 원점대칭 성질은 제시문 <라>에 있다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 식 (1)의 첫 번째 항의 값은 $\displaystyle ( 1 + 1 ) s ( 1 ) - ( 1 - 1 ) s ( - 1 ) = 4$가 된다.$\displaystyle \int_{- 1}^{1} {s^{\prime} ( x ) ( x + 1 ) d x} = 4$