자연계열 1번

1-1[풀이]임의의 실수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle B = {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ k / 2 & 1\end{pmatrix}}$라 하면, $\displaystyle B \in L$이고$\displaystyle B^{2} = {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ k / 2 & 1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ k / 2 & 1\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ k & 1\end{pmatrix}}$이다.따라서 임의의 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ k & 1\end{pmatrix}} \in L$에 대하여, $\displaystyle A = B^{2}$인 $\displaystyle B \in L$가 존재한다.

1-2[풀이]각각의 행렬 방정식의 양변에 $\displaystyle B$와 $\displaystyle A$를 곱하면,$\displaystyle BAX + B^{2} Y = BC$$\displaystyle ABX - A^{2} Y = O$첫째 식에서 둘째 식을 빼면, $\displaystyle A , B \in L$이므로 제시문 <나>에 의해$\displaystyle \left( B^{2} + A^{2} \right) Y = BC$

한편, 제시문 <다>에 의해 $\displaystyle \left( A - B \right)^{2} = O$이므로 $\displaystyle A^{2} + B^{2} = 2 AB$. 따라서$\displaystyle 2 BAY = BC$제시문 <가>에 의해,$\displaystyle Y = \frac{{1}}{2} A^{- 1} C = \frac{{1}}{2} {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ - 2 & 1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}} = \frac{{1}}{2} {\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}}$마찬가지로,$\displaystyle X = \frac{{1}}{2} B^{- 1} C = \frac{{1}}{2} {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ - 3 & 1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}} = \frac{{1}}{2} {\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & - 2\end{pmatrix}}$.

1-3[풀이]임의의 실수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ k & 1\end{pmatrix}}$라 하자.$\displaystyle X^{2} - AX - XA - E = X^{2} - AX - XA + A^{2} - A^{2} - E$

제시문 <나>, <다>에 의해 $\displaystyle \left( A - E \right)^{2} = O$이므로, $\displaystyle A^{2} + E = 2 A$이다. 따라서$\displaystyle X^{2} - AX - XA - E = \left( X - A \right)^{2} - 2 A = O$

그러므로 $\displaystyle \left( X - A \right)^{2} = 2 A$. 한편 문제 1-1에 의해서, $\displaystyle B = {\begin{pmatrix}1 & 0 \\ k / 2 & 1\end{pmatrix}}$라 놓으면,$\displaystyle X = A \pm \sqrt{2} B$ 또는 $\displaystyle X = {\begin{pmatrix}1 \pm \sqrt{2} & 0 \\ \left( 1 \pm \sqrt{2} / 2 \right) k & 1 \pm \sqrt{2}\end{pmatrix}}$