수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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한양대 에리카캠퍼스 2015학년도 수시 오후 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2015su_pm/jayeon_2

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[문제 2] 다음 제시문 <가>∼<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 실수에서 정의된 연속함수 q(x)\displaystyle q ( x )에 대해 다음 식이 성립한다.lim⁡n→∞∑k=1nq(kn)1n=∫01q(x)dx\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n} q \left( \frac{{k}}{n} \right) \frac{{1}}{n} = \int_{0}^{1} {q ( x ) d x}}

<나> 이산확률변수 X\displaystyle X의 확률분포는 다음 형태로 주어진다. (단, pi≥0\displaystyle p_{i} \geq 0)

X\displaystyle Xx1\displaystyle x_{1}x2\displaystyle x_{2}x3\displaystyle x_{3}⋯\displaystyle \cdotsxn\displaystyle x_{n}계
P(X=x)\displaystyle P ( X = x )p1\displaystyle p_{1}p2\displaystyle p_{2}p3\displaystyle p_{3}⋯\displaystyle \cdotspn\displaystyle p_{n}∑pi=1\displaystyle \sum p_{i} = 1

<다> 함수 f(x)=log⁡2x\displaystyle f ( x ) = \log_{2} x (x≥1\displaystyle x \geq 1)의 역함수를 g(x)\displaystyle g ( x )라 할 때, 수열 {bm}\displaystyle \left\{ b_{m} \right\}을 다음과 같이 정의한다.bm=lim⁡n→∞∑k=1ng(n+mk−kn)m−1n\displaystyle b_{m} = \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n}} g \left( \frac{{n + m k - k}}{n} \right) \frac{{m - 1}}{n} (단, m\displaystyle m은 자연수)

2-1. 제시문 <다>에서 정의된 수열 {bm}\displaystyle \left\{ b_{m} \right\}의 일반항이 bm=2m−2ln⁡2\displaystyle b_{m} = \frac{{2^{m} - 2}}{\ln 2}임을 보이시오. [10점]

2-2. 제시문 <다>에서 정의된 수열 {bm}\displaystyle \left\{ b_{m} \right\}으로부터 수열 {am}\displaystyle \left\{ a_{m} \right\}의 일반항을 am=c(bm+1−bm)\displaystyle a_{m} = c ( b_{m + 1} - b_{m} )으로 정의한다.확률변수 X\displaystyle X의 확률분포가 다음과 같이 주어질 때, 양의 상수 c\displaystyle c를 구하시오. [10점]

X\displaystyle X1\displaystyle 12\displaystyle 23\displaystyle 3⋯\displaystyle \cdots100\displaystyle 100계
P(X=x)\displaystyle P ( X = x )1a1\displaystyle \frac{{1}}{a_{1}}1a2\displaystyle \frac{{1}}{a_{2}}1a3\displaystyle \frac{{1}}{a_{3}}⋯\displaystyle \cdots1a100\displaystyle \frac{{1}}{a_{100}}1\displaystyle 1

2-3. 문제 2-2에서 정의된 확률변수 X\displaystyle X의 기댓값 E(X)\displaystyle E ( X )를 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2015학년도 수시 오후 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2015su_pm/jayeon_2

5점 · 2-1

2-1[풀이]함수 f(x)=log⁡2x(x≥1)\displaystyle f ( x ) = \log_{2} x ( x \geq 1 ) 의 역함수 g(x)\displaystyle g ( x )는 g(x)=2x\displaystyle g ( x ) = 2^{x} 이다.

10점 · 2-1

제시문 <가>와 <다>로부터 다음을 얻는다.bm=lim⁡n→∞∑k=1ng(n+mk−kn)m−1n=lim⁡n→∞∑k=1ng(1+(m−1)kn)m−1n=∫1mg(x)dx=∫1m2xdx=2xln⁡2∣1m=2m−2ln⁡2\displaystyle \begin{aligned}b_{m} &= \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n}} g \left( \frac{{n + m k - k}}{n} \right) \frac{{m - 1}}{n}\\&= \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n}} g \left( 1 + \frac{{( m - 1 ) k}}{n} \right) \frac{{m - 1}}{n}\\&= \int_{1}^{m} {g ( x ) d x}\\&= \int_{1}^{m} {2^{x} d x} = \left. \frac{{2^{x}}}{\ln 2} \right|_{1}^{m} = \frac{{2^{m} - 2}}{\ln 2}\end{aligned}

10점 · 2-2

2-2[풀이]am=c(bm+1−bm)=c(2m+1−2m)ln⁡2=c2mln⁡2\displaystyle \begin{aligned}a_{m} &= c ( b_{m + 1} - b_{m} )\\&= \frac{{c ( 2^{m + 1} - 2^{m} )}}{\ln 2} = c \frac{{2^{m}}}{\ln 2}\end{aligned}을 얻고1am\displaystyle \frac{{1}}{a_{m}}이 확률변수이기 위하여는 ∑11001am=1\displaystyle \sum_{1}^{100} \frac{{1}}{a_{m}} = 1을 만족해야 한다.Correction. “1/am\displaystyle 1/a_m이 확률변수”는 “1/am\displaystyle 1/a_m이 확률”의 오기이다. 1/am\displaystyle 1/a_m은 확률변수 X\displaystyle X가 값 m\displaystyle m을 가질 확률을 뜻한다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편,∑11001am=1c∑1100ln⁡22m=1cln⁡2∑110012m=1cln⁡2(1−12100)\displaystyle \begin{aligned}\sum_{1}^{100} \frac{{1}}{a_{m}} &= \frac{{1}}{c} \sum_{1}^{100} \frac{{\ln 2}}{2^{m}}\\&= \frac{{1}}{c} \ln 2 \sum_{1}^{100} \frac{{1}}{2^{m}} = \frac{{1}}{c} \ln 2 \left( 1 - \frac{{1}}{2^{100}} \right)\end{aligned}이므로,c=ln⁡2(1−12100)\displaystyle c = \ln 2 \left( 1 - \frac{{1}}{2^{100}} \right)를 얻는다.

5점 · 2-3

2-3[풀이]am=(1−12100)2m\displaystyle a_{m} = \left( 1 - \frac{{1}}{2^{100}} \right) 2^{m}이므로 1am=1(1−12100)2m\displaystyle \frac{{1}}{a_{m}} = \frac{{1}}{\left( 1 - \frac{{1}}{2^{100}} \right) 2^{m}}을 얻고기댓값 E(X)\displaystyle E ( X )는 E(X)=∑k=1100k1ak\displaystyle E ( X ) = \sum_{k = 1}^{100} k \frac{{1}}{a_{k}}이고,∑k=1100k1ak=21002100−1∑k=1100k12k=21002100−1∑k=1100k2k\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k = 1}^{100} k \frac{{1}}{a_{k}} &= \frac{{2^{100}}}{2^{100} - 1} \sum_{k = 1}^{100} k \frac{{1}}{2^{k}}\\&= \frac{{2^{100}}}{2^{100} - 1} \sum_{k = 1}^{100} \frac{{k}}{2^{k}}\end{aligned}따라서 E(X)=21002100−1∑k=1100k2k\displaystyle E ( X ) = \frac{{2^{100}}}{2^{100} - 1} \sum_{k = 1}^{100} \frac{{k}}{2^{k}}

15점 · 2-3

한편, S=∑k=1100k2k=12+222+323+424+⋯+1002100\displaystyle S = \sum_{k = 1}^{100} \frac{{k}}{2^{k}} = \frac{{1}}{2} + \frac{{2}}{2^{2}} + \frac{{3}}{2^{3}} + \frac{{4}}{2^{4}} + \cdots + \frac{{100}}{2^{100}} 이므로S−12S=12+122+123+124+⋯+12100−1002101\displaystyle S - \frac{{1}}{2} S = \frac{{1}}{2} + \frac{{1}}{2^{2}} + \frac{{1}}{2^{3}} + \frac{{1}}{2^{4}} + \cdots + \frac{{1}}{2^{100}} - \frac{{100}}{2^{101}}S=2−1299−1002100\displaystyle S = 2 - \frac{{1}}{2^{99}} - \frac{{100}}{2^{100}}E(X)=21002100−1(2−1299−1002100)\displaystyle E ( X ) = \frac{{2^{100}}}{2^{100} - 1} \left( 2 - \frac{{1}}{2^{99}} - \frac{{100}}{2^{100}} \right)

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