자연계열 3번

3-1[풀이]구 $\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$의 중심이 $\displaystyle \mathrm{O} \left( 0 , 0 , 0 \right)$이므로, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left( \sqrt{3} , \sqrt{6} , 4 \right)$가 점 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \sqrt{3} , \sqrt{6} , 4 \right)$에서 구에 그은 접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터가 된다. 따라서, 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은$\displaystyle \sqrt{3} x + \sqrt{6} y + 4 z + d = 0$

$\displaystyle \triangle \mathrm{OPA}$는 변의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = 3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = 4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = 5$인 직각 삼각형이고, $\displaystyle \triangle \mathrm{OHP}$는 $\displaystyle \triangle \mathrm{OPA}$과 닮은 직각 삼각형이다. 따라서 닮음비에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = \frac{{9}}{5}$이므로,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{{9}}{25} \left( \sqrt{3} , \sqrt{6} , 4 \right)$점 $\displaystyle \mathrm{H}$가 평면 $\displaystyle \alpha$위에 있으므로, $\displaystyle d = - \frac{{9}}{25} \left( 3 + 6 + 16 \right) = - 9$따라서, 구하고자 하는 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은$\displaystyle \sqrt{3} x + \sqrt{6} y + 4 z - 9 = 0$

3-2[풀이]$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{PO}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\left| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right|^{2} &= \left| \overrightarrow{\mathrm{PO}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right|^{2} = \left| \overrightarrow{\mathrm{PO}} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right|^{2} + 2 \overrightarrow{\mathrm{PO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\\&= \left| \overrightarrow{\mathrm{PO}} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right|^{2} - 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\end{aligned}$

여기서, $\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PO}} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right|^{2} = r^{2} + \left| \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right|^{2}$의 값은 일정하므로, $\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right|$의 값이 최소가 되기 위해서는, 내적 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$이 최댓값 $\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right| \left| \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right|$을 가져야 한다. 따라서 제시문 <가>에 의하여 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$가 이루는 각이 $\displaystyle \theta = 0$이 된다. 따라서 어떤 상수 $\displaystyle t > 0$에 대하여$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

$\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PA}} + \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PC}} \right| = 3 \left| \frac{{\overrightarrow{\mathrm{PA}} + \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PC}}}}{3} \right|$라 쓸 수 있으므로, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PD}} = \frac{{\overrightarrow{\mathrm{PA}} + \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PC}}}}{3}$라 놓으면,$\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PD}} \right|$가 최소 일 때, $\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PA}} + \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PC}} \right|$가 최소가 된다.한편, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OC}}}}{3}$이므로, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}$는 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$의 무게 중심의 위치벡터이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$의 무게 중심이다. 즉,$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{{1 - 2 - 1}}{3} , \frac{{2 + 1 - 0}}{3} , \frac{{3 + 2 + 1}}{3} \right) = \mathrm{D} \left( - \frac{{2}}{3} , 1 , 2 \right)$

이제, $\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PD}} \right|$가 최소가 되기 위해서는, 문제 3-2에 의하여, 어떤 상수 $\displaystyle t > 0$에 대하여$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{\mathrm{OD}}$점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 구 $\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$위에 있으므로,$\displaystyle t = \frac{{\left| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right|}}{\left| \overrightarrow{\mathrm{OD}} \right|} = \frac{{1}}{\sqrt{\frac{{4}}{9} + 1 + 4}} = \frac{{3}}{7}$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PD}} = \overrightarrow{\mathrm{PO}} + \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \left( 1 - t \right) \overrightarrow{\mathrm{OD}}$이므로,$\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PD}} \right| = \frac{{4}}{7} \left| \overrightarrow{\mathrm{OD}} \right| = \frac{{4}}{3}$따라서, $\displaystyle \left| \overrightarrow{\mathrm{PA}} + \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PC}} \right|$의 최솟값은 $\displaystyle 4$이다.

이때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{P} \left( - \frac{{2}}{7} , \frac{{3}}{7} , \frac{{6}}{7} \right)$