자연계열 3번

3-1[풀이]선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}$를 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}$로 옮기는 일차변환은 원의 중심에 대한 회전변환이다.이 때, 회전각도는 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}$ 이므로 $\displaystyle - \frac{{2 \pi}}{3}$만큼 회전변환하는 것이다.그러므로 회전변환은 $\displaystyle {\begin{pmatrix}- \frac{{1}}{2} & \frac{{\sqrt{3}}}{2} \\ - \frac{{\sqrt{3}}}{2} & - \frac{{1}}{2}\end{pmatrix}}$이다.

3-2[풀이]제시문 <나>로부터 구와 평면 $\displaystyle \beta$의 접점$\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle ( 0 , \cos \theta , \sin \theta + 1 )$로 놓을 수 있다.Correction. 구와 평면의 접점을 설명하는 문장의 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \alpha$의 오기이다. $\displaystyle \beta$는 두 평면 사이의 각을 이등분하는 평면이다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.직선 $\displaystyle l : y = \sqrt{3} , z = 0$에서 $\displaystyle y$축 상의 점을 $\displaystyle \mathrm{R}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{R} ( 0 , \sqrt{3} , 0 )$을 얻는다.한편, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RP}}$는 수직이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RP}} = 0$으로부터$\displaystyle \begin{aligned}0 & = 1 - \sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta \\ & = 1 - 2 \sin \left( \frac{{\pi}}{3} - \theta \right)\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{6}$이다.그러므로 접점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , \cos \frac{{\pi}}{6} , \sin \frac{{\pi}}{6} + 1 \right) = \left( 0 , \frac{{\sqrt{3}}}{2} , \frac{{3}}{2} \right)$이다.

또한, 구의 중심 $\displaystyle \mathrm{A} ( 0 , 0 , 1 )$로부터 접점 $\displaystyle \mathrm{P}$까지의 벡터가 법선벡터이므로평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{{\sqrt{3}}}{2} , \frac{{1}}{2} \right)$이다.

$\displaystyle y z$ 평면 위에 있는 $\displaystyle x y$평면의 법선벡터는 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{O}$에서 점 $\displaystyle \mathrm{N}$으로 향하는 벡터 $\displaystyle ( 0 , 1 )$이다.이 벡터는 원에서 $\displaystyle \mathrm{N}$의 좌표에 대응한다.$\displaystyle y z$ 평면상에서 평면 $\displaystyle \beta$ 의 법선벡터는 $\displaystyle x y$평면의 법선벡터를 $\displaystyle - \frac{{\pi}}{6}$ 회전한 원의 좌표에 대응하므로$\displaystyle y z$ 평면상에서는 $\displaystyle \left( \frac{{1}}{2} , \frac{{\sqrt{3}}}{2} \right)$이다.따라서, 평면 $\displaystyle \beta$의 법선벡터는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{{1}}{2} , \frac{{\sqrt{3}}}{2} \right)$이다.