자연계열 1번

[1-1 풀이]제시문 <다>로부터, 타원 (2)의 한 점을 $\displaystyle (x,y)$라 하면 각도 $\displaystyle \theta$ 만큼 회전한 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$은 타원 (1) 위에 있다.$\displaystyle x^{\prime 2}+x^{\prime}y^{\prime}+y^{\prime 2}=1$

제시문 <나>로부터, $\displaystyle x^{\prime}=x\cos\theta-y\sin\theta$ 와 $\displaystyle y^{\prime}=x\sin\theta+y\cos\theta$를 위의 식에 대입하여 $\displaystyle (x,y)$에 대한 이차곡선을 다음과 같이 얻는다.$\displaystyle x^2(1+\cos\theta\sin\theta)+y^2(1-\cos\theta\sin\theta)+xy(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=1$

여기서 $\displaystyle (x,y)$는 타원 (2) 위의 한 점이므로 다음을 만족한다.$\displaystyle 1+\cos\theta\sin\theta=\frac12$$\displaystyle 1-\cos\theta\sin\theta=\frac32$$\displaystyle \cos^2\theta-\sin^2\theta=0$

$\displaystyle 0\le\theta\le\pi$ 이므로 $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4}$ 이다.

[1-2 풀이]식 (1)을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면, $\displaystyle 2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0$이다.

점 $\displaystyle (-1,1)$을 위식에 대입하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=1$이다.따라서, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=x+2$ 이다.

[1-3 풀이]제시문 <가>로부터 타원 (2)의 두 초점은 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt3},0\right)$, $\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt3},0\right)$이다.

문제 1-1의 결과로부터 위의 초점을 $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4}$만큼 회전하면 타원 (1)의 두 초점은 $\displaystyle \left(-\sqrt{\frac23},\sqrt{\frac23}\right)$, $\displaystyle \left(\sqrt{\frac23},-\sqrt{\frac23}\right)$이다.

[1-4 풀이]점 $\displaystyle \mathrm{C}(\sqrt2,0)$는 타원 (2)와 $\displaystyle x$축과의 교점이다.제시문 <가>와 문제 1-3으로부터 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 각도 $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$만큼 회전하여 얻는 점 $\displaystyle \mathrm{B}(-1,1)$는 타원 (1)과 주축 $\displaystyle y=-x$와의 교점이다.

따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{BDO}=\frac\pi4$이고 삼각형 내각의 합 $\displaystyle \angle\mathrm{BAC}+\angle\mathrm{BDO}+\angle\mathrm{OCA}=\pi$ 이므로$\displaystyle \angle\mathrm{BAC}=\frac\pi4$이다.