자연계열 2번

[2-1 풀이]제시문 <가>에 의해$\displaystyle \mathrm{P}\left(|X-1|>\frac13\right)=1-\mathrm{P}\left(\frac23\le X\le\frac43\right),\quad\mathrm{P}\left(\frac23\le X\le\frac43\right)=\int_{2/3}^{4/3}x\,dx=\Biggl[\frac{x^2}{2}\Biggr]_{2/3}^{4/3}=\frac23$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}\left(|X-1|>\frac13\right)=1-\frac23=\frac13$이다.

$\displaystyle |X-1|>\frac13$이고 $\displaystyle X\le1$이면 $\displaystyle X\le\frac23$이고 그 역도 성립한다.

그리고 $\displaystyle \mathrm{P}\left(X\le\frac23\right)=\int_0^{2/3}x\,dx=\frac29$이다.

따라서 제시문 <나>에 의해 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{\mathrm{P}\left(X\le\frac23\right)}{\mathrm{P}\left(|X-1|>\frac13\right)}=\frac{\frac29}{\frac13}=\frac23$이다.

[2-2 풀이]$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(X_n)&=\int_0^{n\pi/2}x\frac1n\sin\frac xn\,dx\\&=\Biggl[-x\cos\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}+\int_0^{n\pi/2}\cos\frac xn\,dx=\Biggl[n\sin\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}=n\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(X_n^2)&=\int_0^{n\pi/2}x^2\frac1n\sin\frac xn\,dx\\&=\Biggl[-x^2\cos\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}+\int_0^{n\pi/2}2x\cos\frac xn\,dx=\Biggl[2nx\sin\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}-\int_0^{n\pi/2}2n\sin\frac xn\,dx\\&=n^2\pi+\Biggl[2n^2\cos\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}=n^2\pi-2n^2\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle \mathrm{V}(X_n)=\mathrm{E}(X_n^2)-\mathrm{E}(X_n)^2=n^2\pi-3n^2$이다.

$\displaystyle \pi=3.14$로 계산하므로$\displaystyle \mathrm{E}(X_n)\le\mathrm{V}(X_n)\ \Rightarrow\ n<n^2(\pi-3)\ \Rightarrow\ \frac1{\pi-3}<n$이고 $\displaystyle \frac1{0.14}\doteq7.14<n$이다.따라서 $\displaystyle \mathrm{E}(X_n)\le\mathrm{V}(X_n)$이 되는 최소의 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 8$이다.