한양대 에리카캠퍼스 2016학년도 수시 오전 자연계열 2번 해설

[문제 2] 다음 제시문 <가>∼<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 임의의 사건 $\displaystyle A$ 의 여사건 $\displaystyle A^{c}$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률을 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A )$ 로 사건 $\displaystyle A^{c}$ 가 일어날 확률을 $\displaystyle \mathrm{P} ( A^{c} )$ 로 표현할 때, 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \mathrm{P} ( A^{c} ) = 1 - \mathrm{P} ( A )$

<나> 확률이 $\displaystyle 0$ 이 아닌 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났다고 가정했을 때, 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률을 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부 확률이라 하고, 이를 $\displaystyle \mathrm{P} ( B | A )$ 로 나타내며 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B | A ) = \frac{{{\mathrm{P}} ( A \cap B )}}{{\mathrm{P}} ( A )}$

<다> 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 의 모든 값을 가지는 연속확률변수 $\displaystyle X$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 다음과 같은 세 가지 조건을 만족할 때, 함수 $\displaystyle f ( x )$ 를 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수라 한다.(1) $\displaystyle f ( x ) \geq 0$ (2) $\displaystyle \int_{a}^{b} {} f ( x ) d x = 1$ (3) $\displaystyle \mathrm{P} ( \alpha \leq X \leq \beta ) = \int_{\alpha}^{\beta} {} f ( x ) d x$ (단, $\displaystyle a \leq \alpha \leq \beta \leq b$ )

<라> 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음과 같이 정의된 함수 $\displaystyle f_{n} ( x )$ 는 제시문 <다>의 확률밀도함수 조건을 만족한다. $\displaystyle f_{n} ( x ) = \frac{{1}}{n} \sin \frac{{x}}{n}$ ( $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{{n \pi}}{2}$ )

2-1. 연속확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수가 다음과 같다. $\displaystyle f ( x ) = x$ ( $\displaystyle 0 \leq x \leq \sqrt{2}$ ) $\displaystyle | X - 1 | > \frac{{1}}{3}$ 일 때, $\displaystyle X \leq 1$ 일 확률을 구하시오. [15점]

2-2. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle X_{n}$ 은 제시문 <라>에서 주어진 $\displaystyle f_{n} ( x )$ 를 확률밀도함수로 가지는 확률변수라 하자. $\displaystyle X_{n}$ 의 평균을 $\displaystyle \mathrm{E} ( X_{n} )$ 이라 하고 $\displaystyle X_{n}$ 의 분산을 $\displaystyle \mathrm{V} ( X_{n} )$ 이라 할 때, $\displaystyle \mathrm{E} ( X_{n} ) \leq \mathrm{V} ( X_{n} )$ 이 되는 최소의 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하시오. (단, $\displaystyle \pi$ 는 $\displaystyle 3.14$ 로 계산한다.) [15점]

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[2-1 풀이]제시문 <가>에 의해 $\displaystyle \mathrm{P}\left(|X-1|>\frac13\right)=1-\mathrm{P}\left(\frac23\le X\le\frac43\right),\quad\mathrm{P}\left(\frac23\le X\le\frac43\right)=\int_{2/3}^{4/3}x\,dx=\Biggl[\frac{x^2}{2}\Biggr]_{2/3}^{4/3}=\frac23$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}\left(|X-1|>\frac13\right)=1-\frac23=\frac13$ 이다.

$\displaystyle |X-1|>\frac13$ 이고 $\displaystyle X\le1$ 이면 $\displaystyle X\le\frac23$ 이고 그 역도 성립한다.

그리고 $\displaystyle \mathrm{P}\left(X\le\frac23\right)=\int_0^{2/3}x\,dx=\frac29$ 이다.

따라서 제시문 <나>에 의해 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{\mathrm{P}\left(X\le\frac23\right)}{\mathrm{P}\left(|X-1|>\frac13\right)}=\frac{\frac29}{\frac13}=\frac23$ 이다.

[2-2 풀이] $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(X_n)&=\int_0^{n\pi/2}x\frac1n\sin\frac xn\,dx\\&=\Biggl[-x\cos\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}+\int_0^{n\pi/2}\cos\frac xn\,dx=\Biggl[n\sin\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}=n\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(X_n^2)&=\int_0^{n\pi/2}x^2\frac1n\sin\frac xn\,dx\\&=\Biggl[-x^2\cos\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}+\int_0^{n\pi/2}2x\cos\frac xn\,dx=\Biggl[2nx\sin\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}-\int_0^{n\pi/2}2n\sin\frac xn\,dx\\&=n^2\pi+\Biggl[2n^2\cos\frac xn\Biggr]_0^{n\pi/2}=n^2\pi-2n^2\end{aligned}$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{V}(X_n)=\mathrm{E}(X_n^2)-\mathrm{E}(X_n)^2=n^2\pi-3n^2$ 이다.

$\displaystyle \pi=3.14$ 로 계산하므로 $\displaystyle \mathrm{E}(X_n)\le\mathrm{V}(X_n)\ \Rightarrow\ n<n^2(\pi-3)\ \Rightarrow\ \frac1{\pi-3}<n$ 이고 $\displaystyle \frac1{0.14}\doteq7.14<n$ 이다.따라서 $\displaystyle \mathrm{E}(X_n)\le\mathrm{V}(X_n)$ 이 되는 최소의 자연수 $\displaystyle n$ 은 $\displaystyle 8$ 이다.

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자연계열 2번

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