자연계열 3번

[3-1 풀이]동전을 $\displaystyle N$번 던질 때 앞면이 $\displaystyle r$회 있을 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(r)={}_{N}\mathrm{C}_{r}\left(\frac12\right)^r\left(\frac12\right)^{N-r}={}_{N}\mathrm{C}_{r}\left(\frac12\right)^N$ 이다.

제시문 <나>로부터 구하고자 하는 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{E}(-R^3+R^2)=\sum_{r=0}^N(-r^3+r^2)\mathrm{P}(r)=\left(\frac12\right)^N\sum_{r=0}^N(-r^3+r^2){}_{N}\mathrm{C}_{r}$

제시문 <다>에 주어진 식들을 연립하면 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle \sum_{r=0}^Nr^2{}_{N}\mathrm{C}_{r}=(N^2+N)2^{N-2},\qquad\sum_{r=0}^Nr^3{}_{N}\mathrm{C}_{r}=(N^3+3N^2)2^{N-3}$따라서, 기댓값은 $\displaystyle \mathrm{E}(-R^3+R^2)=\frac18(-N^3-N^2+2N)$이다.

여기서 $\displaystyle -N^3-N^2+2N=-N(N-1)(N+2)$는 $\displaystyle N=0,1$ 일 때 $\displaystyle 0$이고 $\displaystyle N>1$에서 음수를 갖는다.$\displaystyle N$은 자연수이므로 $\displaystyle N=1$일 때 기댓값은 최대가 된다.

[3-2 풀이]철수가 $\displaystyle H$인 기록을 확인했을 때, 영희의 기록이 $\displaystyle H$일 확률은(1) $\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H]\mid[\text{철수}=H])$$\displaystyle =\frac{\mathrm{P}([\text{영희}=H]\cap[\text{철수}=H])}{\mathrm{P}([\text{철수}=H])}=\frac{\frac12\times\frac13}{\frac12\times\frac13+\frac12\times\frac23}=\frac13$

철수가 $\displaystyle H$를 얻을 확률은(2) $\displaystyle \mathrm{P}([\text{철수}=H])=\frac12\times\frac13+\frac12\times\frac23=\frac12$이고,(3) $\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H])=\frac12$이므로$\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H]\cap[\text{철수}=H])=\frac12\times\frac13=\frac16$이다.그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H]\cap[\text{철수}=H])\ne\mathrm{P}([\text{영희}=H])\mathrm{P}([\text{철수}=H])$이다.따라서 영희와 철수의 기록이 각각 $\displaystyle H$인 사건은 서로 독립이 아니다.