한양대 에리카캠퍼스 2016학년도 수시 오후 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 두 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 의 확률이 다음의 조건 $\displaystyle \mathrm{P} ( A \cap B ) = \mathrm{P} ( A ) \mathrm{P} ( B )$ 를 만족할 때 두 사건은 서로 독립이라 하고, 매회 일어나는 사건들이 서로 독립인 경우, 이러한 시행을 독립시행이라고 한다.

<나> 이산확률변수 $\displaystyle X$ 가 가질 수 있는 각각의 값 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle x_{n}$ 에 대하여 확률 $\displaystyle \mathrm{P} ( X = x_{i} ) = p_{i}$ 가 대응할 때 확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값 혹은 평균은 $\displaystyle \mathrm{E} ( X ) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}$ 이고, 같은 방법으로 $\displaystyle X^{2}$ 과 $\displaystyle X^{3}$ 의 기댓값 혹은 평균은 각각 $\displaystyle \mathrm{E} ( X^{2} ) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}$ , $\displaystyle \mathrm{E} ( X^{3} ) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{3} p_{i}$ 이다.

<다> 다음과 같은 관계식이 성립한다. $\displaystyle \sum_{r = 0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{r} = 2^{n}$ $\displaystyle \sum_{r = 1}^{n} r{}_{n}\mathrm{C}_{r} = n 2^{n - 1}$ $\displaystyle \sum_{r = 2}^{n} r ( r - 1 ){}_{n}\mathrm{C}_{r} = n ( n - 1 ) 2^{n - 2}$ $\displaystyle \sum_{r = 3}^{n} r ( r - 1 ) ( r - 2 ){}_{n}\mathrm{C}_{r} = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) 2^{n - 3}$

3-1. 동전을 $\displaystyle N$ 회 던지는 독립시행에서 앞면의 횟수가 $\displaystyle r$ 이면 $\displaystyle r^{2} - r^{3}$ 의 점수를 얻는다. 이때 점수의 기댓값을 구하고, 기댓값이 최대가 되는 횟수 $\displaystyle N$ 을 구하시오. (단, $\displaystyle N$ 은 자연수이다.) [15점]

3-2. 동전의 앞면을 $\displaystyle H$ 라 하고 뒷면을 $\displaystyle T$ 라 하자. 영희는 동전을 한번 던져 $\displaystyle H$ 또는 $\displaystyle T$ 의 결과를 기록한 후 영철에게 그 결과를 전달하고, 영철은 전달받은 결과를 $\displaystyle \frac{{2}}{3}$ 의 확률로 변경하여 보관한다. (예를 들어 $\displaystyle H$ 를 받았을 때, $\displaystyle H$ 로 보관할 확률이 $\displaystyle \frac{{1}}{3}$ 이고 $\displaystyle T$ 로 변경하여 보관할 확률이 $\displaystyle \frac{{2}}{3}$ 이다.) 철수가 확인한 영철의 기록이 $\displaystyle H$ 일 때 영희의 기록이 $\displaystyle H$ 일 확률을 구하고, 영희와 철수의 기록이 각각 $\displaystyle H$ 인 사건이 서로 독립인지 판별하시오. [15점]

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[3-1 풀이]동전을 $\displaystyle N$ 번 던질 때 앞면이 $\displaystyle r$ 회 있을 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(r)={}_{N}\mathrm{C}_{r}\left(\frac12\right)^r\left(\frac12\right)^{N-r}={}_{N}\mathrm{C}_{r}\left(\frac12\right)^N$ 이다.

제시문 <나>로부터 구하고자 하는 기댓값은 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{E}(-R^3+R^2)=\sum_{r=0}^N(-r^3+r^2)\mathrm{P}(r)=\left(\frac12\right)^N\sum_{r=0}^N(-r^3+r^2){}_{N}\mathrm{C}_{r}$

제시문 <다>에 주어진 식들을 연립하면 다음을 얻을 수 있다. $\displaystyle \sum_{r=0}^Nr^2{}_{N}\mathrm{C}_{r}=(N^2+N)2^{N-2},\qquad\sum_{r=0}^Nr^3{}_{N}\mathrm{C}_{r}=(N^3+3N^2)2^{N-3}$ 따라서, 기댓값은 $\displaystyle \mathrm{E}(-R^3+R^2)=\frac18(-N^3-N^2+2N)$ 이다.

여기서 $\displaystyle -N^3-N^2+2N=-N(N-1)(N+2)$ 는 $\displaystyle N=0,1$ 일 때 $\displaystyle 0$ 이고 $\displaystyle N>1$ 에서 음수를 갖는다. $\displaystyle N$ 은 자연수이므로 $\displaystyle N=1$ 일 때 기댓값은 최대가 된다.

[3-2 풀이]철수가 $\displaystyle H$ 인 기록을 확인했을 때, 영희의 기록이 $\displaystyle H$ 일 확률은(1) $\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H]\mid[\text{철수}=H])$ $\displaystyle =\frac{\mathrm{P}([\text{영희}=H]\cap[\text{철수}=H])}{\mathrm{P}([\text{철수}=H])}=\frac{\frac12\times\frac13}{\frac12\times\frac13+\frac12\times\frac23}=\frac13$

철수가 $\displaystyle H$ 를 얻을 확률은(2) $\displaystyle \mathrm{P}([\text{철수}=H])=\frac12\times\frac13+\frac12\times\frac23=\frac12$ 이고,(3) $\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H])=\frac12$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H]\cap[\text{철수}=H])=\frac12\times\frac13=\frac16$ 이다.그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}([\text{영희}=H]\cap[\text{철수}=H])\ne\mathrm{P}([\text{영희}=H])\mathrm{P}([\text{철수}=H])$ 이다.따라서 영희와 철수의 기록이 각각 $\displaystyle H$ 인 사건은 서로 독립이 아니다.

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자연계열 3번

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