한양대 에리카캠퍼스 2016학년도 수시 오후 자연계열 2번 해설

[문제 2] 다음 제시문 <가>∼<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 좌표평면 위에 무한개의 점으로 이루어진 집합 $\displaystyle \left\{ {\mathrm{P}}_{0} , {\mathrm{P}}_{1} , {\mathrm{P}}_{2} , \ldots \right\}$ 이 있다. $\displaystyle {\mathrm{P}}_{n}$ 의 좌표를 $\displaystyle ( x_{n} , y_{n} )$ 이라 하고, $\displaystyle \mathrm{P}_{0}$ 와 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$ 의 좌표는 각각 $\displaystyle ( 0 , 0 )$ , $\displaystyle ( \ell , 0 )$ 라 하자. (단, $\displaystyle \ell > 0$ )

<나> 세 점 $\displaystyle {\mathrm{P}}_{n - 1}$ , $\displaystyle \mathrm{P} _ {n}$ , $\displaystyle \mathrm{P} _ {n + 1}$ 에 대하여 벡터 $\displaystyle {\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n - 1} {\mathrm{P}}_{n}}}$ 과 $\displaystyle {\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n} {\mathrm{P}}_{n + 1}}}$ 사이의 관계식은 다음과 같이 주어진다고 하자. (단, $\displaystyle n \geq 1$ )

$\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{n + 1} - x_{n} \\ y_{n + 1} - y_{n}\end{pmatrix}} = S {\begin{pmatrix}x_{n} - x_{n - 1} \\ y_{n} - y_{n - 1}\end{pmatrix}}$

이때 $\displaystyle S = k R ( \theta )$ 이며, $\displaystyle k$ 는 $\displaystyle 0 < k < 1$ 이고, $\displaystyle R ( \theta ) = {\begin{pmatrix}\cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}}$ 는 회전변환이다.

<다> 회전변환은 임의의 두 각 $\displaystyle \theta_{1}$ , $\displaystyle \theta_{2}$ 에 대해 다음을 만족한다. $\displaystyle R ( \theta_{1} ) R ( \theta_{2} ) = R ( \theta_{1} + \theta_{2} )$

<라> $\displaystyle 0 < k < 1$ 에 대해 무한급수의 합이 다음과 같이 주어진다. $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} k^{n} \cos n \theta = \frac{{1 - k \cos \theta}}{1 + k^{2} - 2 k \cos \theta}$ , $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} k^{n} \sin n \theta = \frac{{k \sin \theta}}{1 + k^{2} - 2 k \cos \theta}$

2-1. 제시문 <가>~<다>로부터 점 $\displaystyle {\mathrm{P}}_{n}$ 의 좌표 $\displaystyle \left( x_{n} , y_{n} \right)$ 을 구하고, 제시문 <라>를 이용해 $\displaystyle n \to \infty$ 일 때 $\displaystyle {\mathrm{P}}_{n}$ 이 수렴하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표를 구하시오. [20점]

2-2. $\displaystyle k = \frac{{1}}{2}$ , $\displaystyle \ell = 2$ 일 때, $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OP}}} = \left( \frac{{8 - 4 \cos \theta}}{5 - 4 \cos \theta} , \frac{{4 \sin \theta}}{5 - 4 \cos \theta} \right)$ 이다. 이때 $\displaystyle \left| {\overrightarrow{\mathrm{OP}}} \right|$ 의 범위를 구하시오.(단, $\displaystyle 0 \leq \theta \leq 2 \pi$ ) [10점]

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[2-1 풀이]점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$ 의 좌표 $\displaystyle (x_n,y_n)$ 를 구하기 위해 벡터의 합을 이용하면 다음과 같다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1}+\overrightarrow{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2}+\cdots+\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}$ 제시문 <가>로부터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1}=(\ell,0)$ 로 주어진다.제시문 <나>에 의해 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_{m-1}\mathrm{P}_m}$ 의 일차변환은 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_m\mathrm{P}_{m+1}}$ 이고 다음을 얻을 수 있다. $\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix}x_{m+1}-x_m\\y_{m+1}-y_m\end{pmatrix}&=S\begin{pmatrix}x_m-x_{m-1}\\y_m-y_{m-1}\end{pmatrix}=S^2\begin{pmatrix}x_{m-1}-x_{m-2}\\y_{m-1}-y_{m-2}\end{pmatrix}=\cdots=S^m\begin{pmatrix}x_1-x_0\\y_1-y_0\end{pmatrix}\\&=k^m[R(\theta)]^m\begin{pmatrix}\ell\\0\end{pmatrix}=k^mR(m\theta)\begin{pmatrix}\ell\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ell k^m\cos m\theta\\\ell k^m\sin m\theta\end{pmatrix}\end{aligned}$ 따라서 다음의 두 수열의 관계식을 얻을 수 있다. $\displaystyle x_{m+1}-x_m=\ell k^m\cos m\theta,\qquad y_{m+1}-y_m=\ell k^m\sin m\theta$

두 식의 양 변을 각각 $\displaystyle m=0$ 부터 $\displaystyle m=n-1$ 까지 더하고 $\displaystyle x_0=y_0=0$ , $\displaystyle x_1=\ell,y_1=0$ 의 조건을 쓰면 일반항 $\displaystyle x_n$ 과 $\displaystyle y_n$ 을 구할 수 있다. 즉, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=(x_n,y_n)=\left(\ell\sum_{m=0}^{n-1}k^m\cos m\theta,\ \ell\sum_{m=1}^{n-1}k^m\sin m\theta\right)$

제시문 <라>를 이용하면 $\displaystyle n\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\ell\sum_{m=0}^{\infty}k^m\cos m\theta,\ \ell\sum_{m=1}^{\infty}k^m\sin m\theta\right)=\left(\frac{\ell(1-k\cos\theta)}{1+k^2-2k\cos\theta},\ \frac{\ell k\sin\theta}{1+k^2-2k\cos\theta}\right)$

[2-2 풀이] $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\frac{8-4\cos\theta}{5-4\cos\theta},\frac{4\sin\theta}{5-4\cos\theta}\right)$ 이므로 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\left[\left(\frac{8-4\cos\theta}{5-4\cos\theta}\right)^2+\left(\frac{4\sin\theta}{5-4\cos\theta}\right)^2\right]^{1/2}=\frac4{\sqrt{5-4\cos\theta}}$

따라서 $\displaystyle 0\le\theta\le2\pi$ 에서 $\displaystyle -1\le\cos\theta\le1$ 이므로 $\displaystyle \frac43\le|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\le4$

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