자연계열 2번

[2-1 풀이]점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$의 좌표 $\displaystyle (x_n,y_n)$를 구하기 위해 벡터의 합을 이용하면 다음과 같다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1}+\overrightarrow{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2}+\cdots+\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}$제시문 <가>로부터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1}=(\ell,0)$로 주어진다.제시문 <나>에 의해 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_{m-1}\mathrm{P}_m}$의 일차변환은 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_m\mathrm{P}_{m+1}}$이고 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix}x_{m+1}-x_m\\y_{m+1}-y_m\end{pmatrix}&=S\begin{pmatrix}x_m-x_{m-1}\\y_m-y_{m-1}\end{pmatrix}=S^2\begin{pmatrix}x_{m-1}-x_{m-2}\\y_{m-1}-y_{m-2}\end{pmatrix}=\cdots=S^m\begin{pmatrix}x_1-x_0\\y_1-y_0\end{pmatrix}\\&=k^m[R(\theta)]^m\begin{pmatrix}\ell\\0\end{pmatrix}=k^mR(m\theta)\begin{pmatrix}\ell\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ell k^m\cos m\theta\\\ell k^m\sin m\theta\end{pmatrix}\end{aligned}$따라서 다음의 두 수열의 관계식을 얻을 수 있다.$\displaystyle x_{m+1}-x_m=\ell k^m\cos m\theta,\qquad y_{m+1}-y_m=\ell k^m\sin m\theta$

두 식의 양 변을 각각 $\displaystyle m=0$부터 $\displaystyle m=n-1$까지 더하고 $\displaystyle x_0=y_0=0$, $\displaystyle x_1=\ell,y_1=0$의 조건을 쓰면 일반항 $\displaystyle x_n$과 $\displaystyle y_n$을 구할 수 있다. 즉,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=(x_n,y_n)=\left(\ell\sum_{m=0}^{n-1}k^m\cos m\theta,\ \ell\sum_{m=1}^{n-1}k^m\sin m\theta\right)$

제시문 <라>를 이용하면 $\displaystyle n\to\infty$일 때$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\ell\sum_{m=1}^{\infty}k^m\cos m\theta,\ \ell\sum_{m=1}^{\infty}k^m\sin m\theta\right)=\left(\frac{\ell(1-k\cos\theta)}{1+k^2-2k\cos\theta},\ \frac{\ell k\sin\theta}{1+k^2-2k\cos\theta}\right)$Correction. 극한을 취한 뒤 $\displaystyle x$좌표를 나타내는 합의 시작 번호 $\displaystyle m=1$은 $\displaystyle m=0$의 오기이다. $\displaystyle m=0$인 항 $\displaystyle \ell$을 포함해야 이어지는 분수식과 같다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[2-2 풀이]$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\frac{8-4\cos\theta}{5-4\cos\theta},\frac{4\sin\theta}{5-4\cos\theta}\right)$이므로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\left[\left(\frac{8-4\cos\theta}{5-4\cos\theta}\right)^2+\left(\frac{4\sin\theta}{5-4\cos\theta}\right)^2\right]^{1/2}=\frac4{\sqrt{5-4\cos\theta}}$

따라서 $\displaystyle 0\le\theta\le2\pi$에서 $\displaystyle -1\le\cos\theta\le1$이므로$\displaystyle \frac43\le|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\le4$