자연계열 3번

[3-1 풀이]제시문 <다>로부터, $\displaystyle \mathrm{O}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$는 고정된 채 점 $\displaystyle \mathrm{A}$가 원주 상을 움직일 때 <가>, <나>의 조건을 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 위치, 즉 $\displaystyle t$의 값이 정해지고 이때 빗변 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}$의 길이가 $\displaystyle t$의 함수로 주어지게 된다.제시문 <가>로부터(1) $\displaystyle \theta=\alpha-\beta$(2) $\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=t$제시문 <나>로부터(3) $\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt2}\sin(\alpha+\beta)=\frac t{\sqrt2}$$\displaystyle t\to+0$일 때,식 (2)와 (3)으로부터 $\displaystyle \alpha\to0$이고 $\displaystyle \beta\to0$이다.따라서 식 (1)로부터 $\displaystyle \lim_{t\to+0}\theta(t)=0$.

$\displaystyle t\to1-0$일 때,식 (2)로부터 $\displaystyle \alpha+\beta\to\frac\pi2$, 식 (3)으로부터 $\displaystyle \alpha\to\frac\pi4$이므로 $\displaystyle \beta\to\frac\pi4$이다.따라서 $\displaystyle \lim_{t\to1-0}\theta(t)=\frac\pi4-\frac\pi4=0$.

[3-2 풀이]문제 3-1의 결과로부터 $\displaystyle t\to0$, $\displaystyle t\to1$일 때 $\displaystyle \theta\to0$임을 알았다.$\displaystyle \theta$가 최대가 되는 $\displaystyle t$의 값을 구하기 위해 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=0$를 풀어야 한다.$\displaystyle \theta^{\prime}(t)=\alpha^{\prime}(t)-\beta^{\prime}(t)=\alpha^{\prime}(t)\left(2-\frac{\sqrt2\cos\alpha(t)}{\cos(\alpha(t)+\beta(t))}\right)$

「∵ 제시문 <나>에 주어진 식(1) $\displaystyle \sin(\alpha(t)+\beta(t))=\sqrt2\sin\alpha(t)$의 양변을 $\displaystyle t$로 미분하면(제시문 <라> 이용),다음의 식을 얻는다.$\displaystyle \cos(\alpha(t)+\beta(t))(\alpha^{\prime}(t)+\beta^{\prime}(t))=\sqrt2\cos\alpha(t)\alpha^{\prime}(t)$이 식을 $\displaystyle \beta^{\prime}(t)$에 대해 정리하면$\displaystyle \beta^{\prime}(t)=\left(\frac{\sqrt2\cos\alpha(t)}{\cos(\alpha(t)+\beta(t))}-1\right)\alpha^{\prime}(t)$ 」

식 $\displaystyle \theta^{\prime}(t)=0$에서 $\displaystyle \alpha^{\prime}(t)>0$이므로 다음의 식을 얻는다.(2) $\displaystyle \cos\alpha(t)=\sqrt2\cos(\alpha(t)+\beta(t))$

식(1)과 식(2)를 연립하여 풀면 $\displaystyle \theta$가 최대가 되는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle t=\sqrt{\frac23}$가 된다.

「∵(2)의 양변을 제곱하면좌변: $\displaystyle \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac12\sin^2(\alpha+\beta)=1-\frac{t^2}{2}$우변: $\displaystyle 2\cos^2(\alpha+\beta)=2(1-\sin^2(\alpha+\beta))=2(1-t^2)$∴ $\displaystyle 1-\frac{t^2}{2}=2(1-t^2)$따라서 $\displaystyle 0<t<1$이므로 $\displaystyle t=\sqrt{\frac23}$. 」