한양대 에리카캠퍼스 2016학년도 수시 오전 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문 <가>∼<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> $\displaystyle \left| {\overline{{\mathrm{OA}}}} \right| = 1$ 인 둔각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 가 있다. 아래 그림과 같이 $\displaystyle \triangle \mathrm{AOC}$ 는 밑각이 $\displaystyle \alpha$ 인 이등변삼각형이다. $\displaystyle \angle \mathrm{COB} = \beta$ , $\displaystyle \angle \mathrm{CBO} = \theta$ , 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서 변 $\displaystyle \mathrm{OB}$ 에 내린 수선의 길이를 $\displaystyle t$ 라 하자.

<나> 위의 그림에서 두 각 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 사이에는 다음 식이 성립한다고 가정하자. $\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = \sqrt{2} \sin \alpha$

<다> 두 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 와 $\displaystyle \mathrm{B}$ 는 고정되고 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 가 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 를 중심으로 하는 반경 1인 원주를 따라 움직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 도 제시문 <가>, <나>의 조건을 만족하도록 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$ 위에서 움직인다고 하자. 이때 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \theta$ 는 $\displaystyle 0 < t < 1$ 에서 정의되는 $\displaystyle t$ 의 함수이고 미분가능하다.Comment. 두 점 $\displaystyle O$ , $\displaystyle B$ 를 모두 고정하면 선분 $\displaystyle OB$ 의 길이도 일정해야 한다. 그러나 대학 풀이에서는 $\displaystyle OB$ 의 길이가 높이 $\displaystyle t$ 에 따라 변하는 것으로 다룬다.점 $\displaystyle O$ 와 $\displaystyle OB$ 의 방향만 고정하고, $\displaystyle A$ 가 단위원 위에서 움직일 때 제시문 <가>, <나>의 조건을 만족하도록 $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ 도 움직이는 상황을 의도한 것으로 보인다. 이때 $\displaystyle B$ 는 반직선 $\displaystyle OB$ 위에서 움직이며, 대학 풀이처럼 각 $\displaystyle \theta$ 가 최대가 되는 높이 $\displaystyle t$ 를 구할 수 있다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<라> 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y = f ( u )$ 와 $\displaystyle u = g ( x )$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y = f ( g ( x ) )$ 는 미분가능하며 그 도함수는 $\displaystyle ( f ( g ( x ) ) )^{\prime} = f^{\prime} ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x )$ 이다.

3-1. 제시문 <다>에서 정의된 함수 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{t \to + 0} {\theta ( t )}$ 과 $\displaystyle \lim_{t \to 1 - 0} {\theta ( t )}$ 의 값을 구하시오. [10점]

3-2. 제시문과 문제 3-1의 결과를 이용하여 $\displaystyle \theta$ 가 최대가 되는 $\displaystyle t$ 의 값을 구하시오. [20점]

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[3-1 풀이]제시문 <다>로부터, $\displaystyle \mathrm{O}$ 와 $\displaystyle \mathrm{B}$ 는 고정된 채 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 가 원주 상을 움직일 때 <가>, <나>의 조건을 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 위치, 즉 $\displaystyle t$ 의 값이 정해지고 이때 빗변 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}$ 의 길이가 $\displaystyle t$ 의 함수로 주어지게 된다.제시문 <가>로부터(1) $\displaystyle \theta=\alpha-\beta$ (2) $\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=t$ 제시문 <나>로부터(3) $\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt2}\sin(\alpha+\beta)=\frac t{\sqrt2}$ $\displaystyle t\to+0$ 일 때,식 (2)와 (3)으로부터 $\displaystyle \alpha\to0$ 이고 $\displaystyle \beta\to0$ 이다.따라서 식 (1)로부터 $\displaystyle \lim_{t\to+0}\theta(t)=0$ .

$\displaystyle t\to1-0$ 일 때,식 (2)로부터 $\displaystyle \alpha+\beta\to\frac\pi2$ , 식 (3)으로부터 $\displaystyle \alpha\to\frac\pi4$ 이므로 $\displaystyle \beta\to\frac\pi4$ 이다.따라서 $\displaystyle \lim_{t\to1-0}\theta(t)=\frac\pi4-\frac\pi4=0$ .

[3-2 풀이]문제 3-1의 결과로부터 $\displaystyle t\to0$ , $\displaystyle t\to1$ 일 때 $\displaystyle \theta\to0$ 임을 알았다. $\displaystyle \theta$ 가 최대가 되는 $\displaystyle t$ 의 값을 구하기 위해 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=0$ 를 풀어야 한다. $\displaystyle \theta^{\prime}(t)=\alpha^{\prime}(t)-\beta^{\prime}(t)=\alpha^{\prime}(t)\left(2-\frac{\sqrt2\cos\alpha(t)}{\cos(\alpha(t)+\beta(t))}\right)$

「∵ 제시문 <나>에 주어진 식(1) $\displaystyle \sin(\alpha(t)+\beta(t))=\sqrt2\sin\alpha(t)$ 의 양변을 $\displaystyle t$ 로 미분하면(제시문 <라> 이용),다음의 식을 얻는다. $\displaystyle \cos(\alpha(t)+\beta(t))(\alpha^{\prime}(t)+\beta^{\prime}(t))=\sqrt2\cos\alpha(t)\alpha^{\prime}(t)$ 이 식을 $\displaystyle \beta^{\prime}(t)$ 에 대해 정리하면 $\displaystyle \beta^{\prime}(t)=\left(\frac{\sqrt2\cos\alpha(t)}{\cos(\alpha(t)+\beta(t))}-1\right)\alpha^{\prime}(t)$ 」

식 $\displaystyle \theta^{\prime}(t)=0$ 에서 $\displaystyle \alpha^{\prime}(t)>0$ 이므로 다음의 식을 얻는다.(2) $\displaystyle \cos\alpha(t)=\sqrt2\cos(\alpha(t)+\beta(t))$

식(1)과 식(2)를 연립하여 풀면 $\displaystyle \theta$ 가 최대가 되는 $\displaystyle t$ 의 값은 $\displaystyle t=\sqrt{\frac23}$ 가 된다.

「∵(2)의 양변을 제곱하면좌변: $\displaystyle \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac12\sin^2(\alpha+\beta)=1-\frac{t^2}{2}$ 우변: $\displaystyle 2\cos^2(\alpha+\beta)=2(1-\sin^2(\alpha+\beta))=2(1-t^2)$ ∴ $\displaystyle 1-\frac{t^2}{2}=2(1-t^2)$ 따라서 $\displaystyle 0<t<1$ 이므로 $\displaystyle t=\sqrt{\frac23}$ . 」

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