수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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한양대 에리카캠퍼스 2016학년도 수시 오후 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2016su_pm/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> [x]\displaystyle \left[ x \right]는 x\displaystyle x보다 크지 않은 최대 정수이다.

<나> 함수 f:[a,b]→[a,b]\displaystyle f : [ a , b ] \to [ a , b ]가 연속이고 증가한다고 하자. f(a)=a\displaystyle f ( a ) = a이고 f(b)=b\displaystyle f ( b ) = b이면 함수 f(x)\displaystyle f ( x )의역함수 g:[a,b]→[a,b]\displaystyle g : [ a , b ] \to [ a , b ]가 존재하고 연속이며 증가하는 함수이다.

<다> 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때,∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x (단, Δx=b−an\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}, xk=a+kΔx\displaystyle x_k=a+k\Delta x)

1-1. 함수 f(x)=[px2]+k[qx]\displaystyle f \left( x \right) = \left[ p x^{2} \right] + k \left[ q x \right]가 임의의 양의 정수 x=n\displaystyle x = n에서 연속이 되도록 하는 상수 k\displaystyle k값을 구하시오.(단, p\displaystyle p, q\displaystyle q는 양의 정수이다.) [10점]

1-2. 임의의 양의 정수 x=n\displaystyle x = n에 대하여 함수 f(x)=[px2]−[qx]\displaystyle f \left( x \right) = \left[ p x^{2} \right] - \left[ q x \right]가 미분가능함을 보이시오. [10점]

1-3. lim⁡n→∞1n∫01[nx2]dx\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{{1}}{n} \int_{0}^{1} {\left[ n x^{2} \right] d x}}를 구하시오. (단, n\displaystyle n은 양의 정수이다.) [10점]

1-4. 제시문 <나>의 함수 f(x)\displaystyle f \left( x \right)가 [a,b]=[0,1]\displaystyle [ a , b ] = \left[ 0 , 1 \right]에서 정의된다고 하자. c=∫01f(x)dx\displaystyle c = \int_{0}^{1} {f \left( x \right) d x}일 때,lim⁡n→∞∫01([nf(x)]n−c)dx\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\int_{0}^{1} {\left( \frac{{[ n f ( x ) ]}}{n} - c \right) d x}}를 구하시오. (단, n\displaystyle n은 양의 정수이다.) [10점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2016학년도 수시 오후 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2016su_pm/jayeon_1

[1-1 풀이]lim⁡x→n+0f(x)=pn2+kqn\displaystyle \lim_{x\to n+0}f(x)=pn^2+kqnlim⁡x→n−0f(x)=pn2−1+k(qn−1)\displaystyle \lim_{x\to n-0}f(x)=pn^2-1+k(qn-1)

함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=n\displaystyle x=n에서 연속이 되려면 lim⁡x→n−0f(x)=f(n)=lim⁡x→n+0f(x)\displaystyle \lim_{x\to n-0}f(x)=f(n)=\lim_{x\to n+0}f(x)를 만족해야 한다.따라서 pn2+kqn=pn2−1+k(qn−1)\displaystyle pn^2+kqn=pn^2-1+k(qn-1)이고 0=−1−k\displaystyle 0=-1-k그러므로 k=−1\displaystyle k=-1.

[1-2 풀이1]lim⁡h→+0f(n+h)−f(n)h=lim⁡h→+0(pn2−qn)−(pn2−qn)h=0\displaystyle \lim_{h\to+0}\frac{f(n+h)-f(n)}h=\lim_{h\to+0}\frac{(pn^2-qn)-(pn^2-qn)}h=0lim⁡h→−0f(n+h)−f(n)h=lim⁡h→−0((pn2−1)−(qn−1))−(pn2−qn)h=0\displaystyle \lim_{h\to-0}\frac{f(n+h)-f(n)}h=\lim_{h\to-0}\frac{((pn^2-1)-(qn-1))-(pn^2-qn)}h=0

[1-3 풀이]∫01[nx2]dx=∑k=0n−1∫knk+1nk dx=∑k=0n−1k(k+1n−kn)=1n{(2−1)+2(3−2)+3(4−3)+⋯+(n−1)(n−n−1)}=1n{(n−1)n−n−1−n−2−⋯−2−1}=n−1n∑k=1nk\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1[nx^2]dx&=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\sqrt{\frac kn}}^{\sqrt{\frac{k+1}n}}k\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}k\left(\sqrt{\frac{k+1}n}-\sqrt{\frac kn}\right)\\&=\frac1{\sqrt n}\{(\sqrt2-1)+2(\sqrt3-\sqrt2)+3(\sqrt4-\sqrt3)+\cdots+(n-1)(\sqrt n-\sqrt{n-1})\}\\&=\frac1{\sqrt n}\{(n-1)\sqrt n-\sqrt{n-1}-\sqrt{n-2}-\cdots-\sqrt2-1\}\\&=n-\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\sqrt k\end{aligned}따라서 1n∫01[nx2]dx=1−1n∑k=1nkn\displaystyle \frac1n\int_0^1[nx^2]dx=1-\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac kn}이고lim⁡n→∞1n∫01[nx2]dx=1−lim⁡n→∞1n∑k=1nkn=1−∫01t dt=1−23=13\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac1n\int_0^1[nx^2]dx&=1-\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac kn}\\&=1-\int_0^1\sqrt t\,dt=1-\frac23=\frac13\end{aligned}

[1-4 풀이]제시문 <나>에 의하여 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수 g(x)\displaystyle g(x)가 존재하고f(0)=g(0)=0, f(1)=g(1)=1\displaystyle f(0)=g(0)=0,\ f(1)=g(1)=1따라서∫01[nf(x)]dx=∑k=0n−1∫g(kn)g(k+1n)k dx=∑k=0n−1k{g(k+1n)−g(kn)}=ng(nn)−g(nn)−g(n−1n)−g(n−2n)−⋯−g(2n)−g(1n)=n−∑k=1ng(kn)\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1[nf(x)]dx&=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{g\left(\frac kn\right)}^{g\left(\frac{k+1}n\right)}k\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}k\left\{g\left(\frac{k+1}n\right)-g\left(\frac kn\right)\right\}\\&=ng\left(\frac nn\right)-g\left(\frac nn\right)-g\left(\frac{n-1}n\right)-g\left(\frac{n-2}n\right)-\cdots-g\left(\frac2n\right)-g\left(\frac1n\right)\\&=n-\sum_{k=1}^ng\left(\frac kn\right)\end{aligned}

따라서 ∫01[nf(x)]ndx=1−1n∑k=1ng(kn)\displaystyle \int_0^1\frac{[nf(x)]}{n}dx=1-\frac1n\sum_{k=1}^ng\left(\frac kn\right)이고lim⁡n→∞∫01[nf(x)]ndx=1−lim⁡n→∞1n∑k=1ng(kn)=1−∫01g(t)dt=∫01f(x)dx\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{[nf(x)]}{n}dx&=1-\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ng\left(\frac kn\right)\\&=1-\int_0^1g(t)dt=\int_0^1f(x)dx\end{aligned}그러므로 lim⁡n→∞∫01([nf(x)]n−c)dx=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^1\left(\frac{[nf(x)]}{n}-c\right)dx=0

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