자연계열 1번

1-1.[풀이]원기둥을 자른 평면은 $\displaystyle x$축을 포함하는 평면의 방정식이므로 $\displaystyle z=my$로 나타낼 수 있다. 이 때, $\displaystyle xy$평면과 이루는 기울기 $\displaystyle m=\tan\theta$이므로, $\displaystyle z=\tan\theta\,y$이다.

1-2.[풀이]점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y,z)$는 단면 위의 점이므로 문제 1-1로부터 $\displaystyle z=y\tan\theta$이 됨을 알 수 있다. 그리고 점 $\displaystyle \mathrm{A}(x,y,0)$는 반경 $\displaystyle R$인 원의 원주 위의 점이므로 $\displaystyle x^2+y^2=R^2$. 그러므로$\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}$의 넓이 $\displaystyle =\frac12y\cdot z=\frac12y\cdot y\tan\theta=\frac{\tan\theta}{2}y^2=\frac{\tan\theta}{2}(R^2-x^2)$

1-3.[풀이]문제 1-2에서 구한 삼각형 PAB의 면적을 $\displaystyle -R\le x\le R$의 영역에서 적분하면 입체도형의 부피가 얻어진다.부피 $\displaystyle =\int_{-R}^R\frac{\tan\theta}{2}(R^2-x^2)\,dx=\frac23\tan\theta\,R^3$

1-4.[풀이]제시문 <나>에서 입체도형 하나의 부피는 문제 1-3의 결과에 $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{N}$을 대입하면 얻어지고 모두 $\displaystyle N$개의 입체도형이 있으므로 부피의 총합은$\displaystyle V_N=N\cdot\frac23\left(\tan\frac{2\pi}{N}\right)R^3$그러므로 $\displaystyle N\to\infty$의 극한을 취하면, $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$이므로$\displaystyle \lim_{N\to\infty}V_N=\lim_{N\to\infty}\frac{4\pi}{3}R^3\frac{\tan\frac{2\pi}{N}}{\frac{2\pi}{N}}=\frac{4\pi}{3}R^3$