자연계열 1번

1-1.[풀이]

꼭짓점 $\displaystyle A$에서 밑면 $\displaystyle OBC$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 하자. $\displaystyle C$와 $\displaystyle H$를 연결한 선이 $\displaystyle OB$와 만나는 점을 $\displaystyle D$라 하자. $\displaystyle H$는 $\displaystyle \triangle OBC$의 무게중심이므로$\displaystyle DH=\frac13CD$이다.$\displaystyle \triangle OAB$와 $\displaystyle \triangle OBC$가 이루는 이면각을 $\displaystyle \theta$라 하자.( $\displaystyle \triangle OAB$의 넓이 ) $\displaystyle \times\cos\theta$ = ( $\displaystyle \triangle OHB$의 넓이 ) 에서$\displaystyle \cos\theta=\frac13$

1-2.[풀이]$\displaystyle xy$평면과 OAB, OAC, ABC면이 이루는 각이 이면각이다.$\displaystyle xy$평면에 수직한 크기가 1인 벡터 $\displaystyle \vec m=(0,0,1)$에 대해$\displaystyle \vec n_1\cdot\vec m=\vec n_2\cdot\vec m=\vec n_3\cdot\vec m=\cos\theta=\frac13$이므로$\displaystyle r_1=r_2=r_3=\frac13$이다.

1-3.[풀이] 정사면체 $\displaystyle OABC$의 한 변의 길이가 30이므로,$\displaystyle O(0,0,0),B(0,30,0),C(-15\sqrt3,15,0),A(-5\sqrt3,15,10\sqrt6)$으로 나타낼 수 있다.이 때, $\displaystyle \vec n_1$은 평면 $\displaystyle OAB$에 수직이므로,$\displaystyle \vec n_1$은 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$에 대한 방향벡터 $\displaystyle (0,1,0)$와$\displaystyle \overrightarrow{OA}$에 대한 방향벡터 $\displaystyle (-\sqrt3,3,2\sqrt6)$와 수직이다.$\displaystyle \vec n_1=(p_1,q_1,\frac13)$일 때, $\displaystyle \vec n_1\cdot(0,1,0)=0$이므로, $\displaystyle q_1=0$.$\displaystyle \vec n_1=(p_1,0,\frac13)$이고, $\displaystyle \vec n_1\cdot(-\sqrt3,3,2\sqrt6)=0$이므로, $\displaystyle p_1=\frac{2\sqrt2}{3}$.따라서 $\displaystyle \vec n_1=(\frac{2\sqrt2}{3},0,\frac13)$이다.

같은 방법으로 $\displaystyle \vec n_2$는 평면 $\displaystyle OAC$와 수직이므로,$\displaystyle \vec n_2\cdot\overrightarrow{OA}=0,\ \vec n_2\cdot\overrightarrow{OC}=0$에서 $\displaystyle \vec n_2=(-\frac{\sqrt2}{3},-\frac{\sqrt6}{3},\frac13)$이다.

같은 방법으로 $\displaystyle \vec n_3$는 평면 $\displaystyle ABC$와 수직이므로,$\displaystyle \vec n_3\cdot\overrightarrow{AB}=0,\ \vec n_3\cdot\overrightarrow{BC}=0$에서 $\displaystyle \vec n_3=(-\frac{\sqrt2}{3},\frac{\sqrt6}{3},\frac13)$이다.

1-4.[풀이]$\displaystyle \vec n_3=(-\frac{\sqrt2}{3},\frac{\sqrt6}{3},\frac13)$이고 점 $\displaystyle B(0,30,0)$를 지나므로$\displaystyle ABC$를 포함하는 평면의 방정식은$\displaystyle -\frac{\sqrt2}{3}x+\frac{\sqrt6}{3}(y-30)+\frac13z=0$이다.