자연계열 3번

3-1.[풀이]$\displaystyle X\sim\mathrm{B}(n,\frac25)$이므로 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=n\cdot\frac25\cdot\frac35=\frac{6n}{25}$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm{V}(\sqrt2X+1)=2\mathrm{V}(X)=2\cdot\frac{6n}{25}\equiv48$로부터 $\displaystyle n=100$을 얻는다.따라서 $\displaystyle \mathrm{E}(2X-n)=2\mathrm{E}(X)-n=2(100)\frac25-100=-20$이다.

3-2.[풀이]$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X\le r)&=P(X=0)+P(X\le1)+P(X\le2)+\cdots+P(X\le10)\\&=11P(X=0)+10P(X=1)+\cdots+P(X=10)\\&=\sum_{r=0}^{10}(11-r)P(X=r)\\&=11\sum_{r=0}^{10}P(X=r)-\sum_{r=0}^{10}rP(X=r)\end{aligned}$$\displaystyle \sum_{r=0}^{10}P(X=r)=1$이고, $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(10,p)$를 따르므로,제시문 <나> 에 의하여 $\displaystyle E(X)=\sum_{r=0}^{10}rP(X=r)=10p$이다.따라서, $\displaystyle \sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X\le r)=11-10p=9$이므로, $\displaystyle p=\frac15$이다.