자연계열 3번

한양대 에리카캠퍼스 2017학년도 수시 오후 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2017su_pm/jayeon_3

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 어떤 사건이 일어날 확률이 $\displaystyle p$ 이고 이 시행을 $\displaystyle n$ 회 독립적으로 반복할 때 이 사건이 일어날 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하자. 이때 확률변수 $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(n,p)$ 를 따르며, $\displaystyle X$ 의 확률질량함수는 $\displaystyle \mathrm{P}(X=r)={}_n\mathrm C_rp^r(1-p)^{n-r}\quad(r=0,1,\ldots,n)$ 이다.

<나> 확률변수 $\displaystyle X$ 가 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(n,p)$ 를 따를 때, $\displaystyle X$ 의 기댓값은 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{r=0}^n r\,{}_n\mathrm C_rp^r(1-p)^{n-r}=np$ 이고 $\displaystyle X$ 의 분산은 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=np(1-p)$ 이다.

<다> 확률변수 $\displaystyle X$ 의 분산은 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X))^2$ 이다.

3-1. 확률변수 $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(n,\frac25)$ 를 따른다. $\displaystyle \mathrm{V}(\sqrt2X+1)=48$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{E}(2X-n)$ 의 값을 구하시오. [10점]

3-2. 확률변수 $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(10,p)$ 를 따른다. 식 $\displaystyle \sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X\le r)=9$ 를 만족하는 $\displaystyle p$ 의 값을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2017학년도 수시 오후 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2017su_pm/jayeon_3

3-1.[풀이] $\displaystyle X\sim\mathrm{B}(n,\frac25)$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=n\cdot\frac25\cdot\frac35=\frac{6n}{25}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{V}(\sqrt2X+1)=2\mathrm{V}(X)=2\cdot\frac{6n}{25}\equiv48$ 로부터 $\displaystyle n=100$ 을 얻는다.따라서 $\displaystyle \mathrm{E}(2X-n)=2\mathrm{E}(X)-n=2(100)\frac25-100=-20$ 이다.

3-2.[풀이] $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X\le r)&=P(X=0)+P(X\le1)+P(X\le2)+\cdots+P(X\le10)\\&=11P(X=0)+10P(X=1)+\cdots+P(X=10)\\&=\sum_{r=0}^{10}(11-r)P(X=r)\\&=11\sum_{r=0}^{10}P(X=r)-\sum_{r=0}^{10}rP(X=r)\end{aligned}$ $\displaystyle \sum_{r=0}^{10}P(X=r)=1$ 이고, $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle B(10,p)$ 를 따르므로,제시문 <나> 에 의하여 $\displaystyle E(X)=\sum_{r=0}^{10}rP(X=r)=10p$ 이다.따라서, $\displaystyle \sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X\le r)=11-10p=9$ 이므로, $\displaystyle p=\frac15$ 이다.

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