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자연계열 2번

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한양대 에리카캠퍼스 2017학년도 수시 오전 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2017su_am/jayeon_2

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[문제 2] 다음 제시문 <가>~<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 점 P(x0,y0,z0)\displaystyle \mathrm{P}(x_0,y_0,z_0)를 지나고 방향벡터가 u⃗=(p,q,r)\displaystyle \vec u=(p,q,r)인 직선의 방정식은 아래와 같다.x−x0p=y−y0q=z−z0r\displaystyle \frac{x-x_0}{p}=\frac{y-y_0}{q}=\frac{z-z_0}{r} (단, pqr≠0\displaystyle pqr\ne0)

<나> 한 직선이 다른 직선과 좌표평면 위의 한 점에서 만날 때 아래 규칙을 따른다고 하자.(1) 방향벡터가 u⃗=(p,q,r)\displaystyle \vec u=(p,q,r)인 직선은 xy\displaystyle xy평면의 한 점에서 방향벡터 u⃗′=(p,q,−r)\displaystyle \vec u^{\prime}=(p,q,-r)인 직선과 만난다.(2) 방향벡터가 u⃗=(p,q,r)\displaystyle \vec u=(p,q,r)인 직선은 yz\displaystyle yz평면의 한 점에서 방향벡터 u⃗′=(−p,q,r)\displaystyle \vec u^{\prime}=(-p,q,r)인 직선과 만난다.(3) 방향벡터가 u⃗=(p,q,r)\displaystyle \vec u=(p,q,r)인 직선은 zx\displaystyle zx평면의 한 점에서 방향벡터 u⃗′=(p,−q,r)\displaystyle \vec u^{\prime}=(p,-q,r)인 직선과 만난다.

<다> 0⃗\displaystyle \vec0이 아닌 두 벡터 u⃗\displaystyle \vec u와 v⃗\displaystyle \vec v가 평행이면 v⃗=ku⃗\displaystyle \vec v=k\vec u (k≠0\displaystyle k\ne0)이다.

<라> 방향벡터가 u⃗=(p,q,r)\displaystyle \vec u=(p,q,r)인 직선 l0\displaystyle l_0가 xy\displaystyle xy평면의 점 A(a,b,0)\displaystyle \mathrm{A}(a,b,0)에서 직선 l1\displaystyle l_1과 만나고 직선 l1\displaystyle l_1은 yz\displaystyle yz평면의 점 B에서 직선 l2\displaystyle l_2와 만난다. 그리고 직선 l2\displaystyle l_2는 zx\displaystyle zx평면의 점 C에서 직선 l3\displaystyle l_3와 만난다. 두 직선이 좌표평면에서 만날 때 항상 제시문 <나>의 규칙을 따른다. 또한 p,q,r\displaystyle p,q,r (pqr≠0\displaystyle pqr\ne0)은 모두 같은 부호를 가지며, 네 직선 l0,l1,l2,l3\displaystyle l_0,l_1,l_2,l_3 모두 좌표공간에서 x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z 좌표가 양인 부분만을 고려한다.

2-1. 직선 l0\displaystyle l_0의 방향벡터가 u⃗=(p,q,r)\displaystyle \vec u=(p,q,r)일 때, 직선 l1,l2,l3\displaystyle l_1,l_2,l_3의 방향벡터를 구하고 직선 l3\displaystyle l_3와 직선 l0\displaystyle l_0가 평행함을 설명하시오. [10점]

2-2. 직선 l1,l2\displaystyle l_1,l_2의 방정식을 구하여 점 B와 점 C의 좌표를 p,q,r,a,b\displaystyle p,q,r,a,b로 나타내시오. 그리고 p=q=r=1\displaystyle p=q=r=1일 때 두 직선 l0\displaystyle l_0와 l3\displaystyle l_3 사이의 거리를 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2017학년도 수시 오전 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2017su_am/jayeon_2

2-1.[풀이]제시문 <나>의 규칙을 쓰면 제시문 <라>에 설명된 각 직선의 방향벡터는 다음과 같이 얻어진다.직선 l0\displaystyle l_0: u⃗=(p,q,r)\displaystyle \vec u=(p,q,r)직선 l1\displaystyle l_1: u⃗1=(p,q,−r)\displaystyle \vec u_1=(p,q,-r)직선 l2\displaystyle l_2: u⃗2=(−p,q,−r)\displaystyle \vec u_2=(-p,q,-r)직선 l3\displaystyle l_3: u⃗3=(−p,−q,−r)\displaystyle \vec u_3=(-p,-q,-r)직선 l3\displaystyle l_3와 직선 l0\displaystyle l_0의 방향벡터는 u⃗3=−u⃗\displaystyle \vec u_3=-\vec u의 관계를 가지므로 제시문 <다>에 의해 두 직선은 서로 평행하다

2-2.[풀이]직선 l1\displaystyle l_1은 점 A(a,b,0)\displaystyle \mathrm{A}(a,b,0)를 지나고 방향벡터가 u⃗1=(p,q,−r)\displaystyle \vec u_1=(p,q,-r)이므로 제시문 <가>에 의해 직선의 식은x−ap=y−bq=z−r\displaystyle \frac{x-a}{p}=\frac{y-b}{q}=\frac{z}{-r}.

직선 l1\displaystyle l_1이 yz\displaystyle yz평면(x=0\displaystyle x=0)과 만나는 교점 B를 구하기 위해 직선 l1\displaystyle l_1의 식에 x=0\displaystyle x=0을 대입하면−ap=y−bq=z−r⇒y=b−qpa, z=rpa\displaystyle \frac{-a}{p}=\frac{y-b}{q}=\frac{z}{-r}\quad\Rightarrow\quad y=b-\frac qp a,\ z=\frac rp a따라서 점 B의 좌표는 (0,b−qpa,rpa)\displaystyle \left(0,b-\frac qp a,\frac rp a\right)이다.

직선 l2\displaystyle l_2는 점 B(0,b−qpa,rpa)\displaystyle \mathrm{B}\left(0,b-\frac qp a,\frac rp a\right)를 지나고 방향벡터가 u⃗2=(−p,q,−r)\displaystyle \vec u_2=(-p,q,-r)이므로 직선의 식은x−p=y−b+qpaq=z−rpa−r\displaystyle \frac{x}{-p}=\frac{y-b+\frac qp a}{q}=\frac{z-\frac rp a}{-r}.zx\displaystyle zx평면(y=0\displaystyle y=0) 위의 점 C는 직선 l2\displaystyle l_2의 식에 y=0\displaystyle y=0을 대입해 구한다.x−p=−b+qpaq=z−rpa−r⇒x=−a+pqb, z=rqb\displaystyle \frac{x}{-p}=\frac{-b+\frac qp a}{q}=\frac{z-\frac rp a}{-r}\quad\Rightarrow\quad x=-a+\frac pq b,\ z=\frac rq b따라서 점 C의 좌표는 (−a+pqb,0,rqb)\displaystyle \left(-a+\frac pq b,0,\frac rq b\right)이다.

p=q=r=1\displaystyle p=q=r=1일 때 두 직선 l3\displaystyle l_3와 l0\displaystyle l_0의 방향벡터는 u⃗=(1,1,1)\displaystyle \vec u=(1,1,1)으로 같고 직선 l3\displaystyle l_3 위의 점 C는 좌표가 (−a+b,0,b)\displaystyle (-a+b,0,b)이다. 그러므로CA→=(a,b,0)−(−a+b,0,b)=(2a−b,b,−b)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}}=(a,b,0)-(-a+b,0,b)=(2a-b,b,-b).두 벡터 u⃗\displaystyle \vec u와 CA→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}} 사이의 각도를 θ\displaystyle \theta라 하면 두 직선 사이의 거리는 다음과 같이 얻어진다.두 직선 사이의 거리 =∣CA→∣sin⁡θ=∣CA→∣2(1−cos⁡2θ)={∣CA→∣2−(CA→⋅u⃗∣u⃗∣)2}\displaystyle =\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|\sin\theta=\sqrt{\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|^2(1-\cos^2\theta)}=\sqrt{\left\{\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|^2-\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\vec u}{|\vec u|}\right)^2\right\}}=83(a2−ab+b2)\displaystyle =\sqrt{\frac83(a^2-ab+b^2)}

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