자연계열 2번

2-1.[풀이]제시문 <나>의 규칙을 쓰면 제시문 <라>에 설명된 각 직선의 방향벡터는 다음과 같이 얻어진다.직선 $\displaystyle l_0$: $\displaystyle \vec u=(p,q,r)$직선 $\displaystyle l_1$: $\displaystyle \vec u_1=(p,q,-r)$직선 $\displaystyle l_2$: $\displaystyle \vec u_2=(-p,q,-r)$직선 $\displaystyle l_3$: $\displaystyle \vec u_3=(-p,-q,-r)$직선 $\displaystyle l_3$와 직선 $\displaystyle l_0$의 방향벡터는 $\displaystyle \vec u_3=-\vec u$의 관계를 가지므로 제시문 <다>에 의해 두 직선은 서로 평행하다

2-2.[풀이]직선 $\displaystyle l_1$은 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,b,0)$를 지나고 방향벡터가 $\displaystyle \vec u_1=(p,q,-r)$이므로 제시문 <가>에 의해 직선의 식은$\displaystyle \frac{x-a}{p}=\frac{y-b}{q}=\frac{z}{-r}$.

직선 $\displaystyle l_1$이 $\displaystyle yz$평면($\displaystyle x=0$)과 만나는 교점 B를 구하기 위해 직선 $\displaystyle l_1$의 식에 $\displaystyle x=0$을 대입하면$\displaystyle \frac{-a}{p}=\frac{y-b}{q}=\frac{z}{-r}\quad\Rightarrow\quad y=b-\frac qp a,\ z=\frac rp a$따라서 점 B의 좌표는 $\displaystyle \left(0,b-\frac qp a,\frac rp a\right)$이다.

직선 $\displaystyle l_2$는 점 $\displaystyle \mathrm{B}\left(0,b-\frac qp a,\frac rp a\right)$를 지나고 방향벡터가 $\displaystyle \vec u_2=(-p,q,-r)$이므로 직선의 식은$\displaystyle \frac{x}{-p}=\frac{y-b+\frac qp a}{q}=\frac{z-\frac rp a}{-r}$.$\displaystyle zx$평면($\displaystyle y=0$) 위의 점 C는 직선 $\displaystyle l_2$의 식에 $\displaystyle y=0$을 대입해 구한다.$\displaystyle \frac{x}{-p}=\frac{-b+\frac qp a}{q}=\frac{z-\frac rp a}{-r}\quad\Rightarrow\quad x=-a+\frac pq b,\ z=\frac rq b$따라서 점 C의 좌표는 $\displaystyle \left(-a+\frac pq b,0,\frac rq b\right)$이다.

$\displaystyle p=q=r=1$일 때 두 직선 $\displaystyle l_3$와 $\displaystyle l_0$의 방향벡터는 $\displaystyle \vec u=(1,1,1)$으로 같고 직선 $\displaystyle l_3$ 위의 점 C는 좌표가 $\displaystyle (-a+b,0,b)$이다. 그러므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}}=(a,b,0)-(-a+b,0,b)=(2a-b,b,-b)$.두 벡터 $\displaystyle \vec u$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}}$ 사이의 각도를 $\displaystyle \theta$라 하면 두 직선 사이의 거리는 다음과 같이 얻어진다.두 직선 사이의 거리 $\displaystyle =\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|\sin\theta=\sqrt{\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|^2(1-\cos^2\theta)}=\sqrt{\left\{\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|^2-\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\vec u}{|\vec u|}\right)^2\right\}}$$\displaystyle =\sqrt{\frac83(a^2-ab+b^2)}$