자연계열 2번

2-1.[풀이]$\displaystyle f(x)=\frac{1+(x-\frac\pi2)^4\cos x}{2}+e^x$이면$\displaystyle f(\pi-x)=\frac{1+(\frac\pi2-x)^4\cos(\pi-x)}{2}+e^{(\pi-x)}=\frac{1-(x-\frac\pi2)^4\cos x}{2}+e^{(\pi-x)}$이므로$\displaystyle g(x)=f(x)+f(\pi-x)=1+e^x+e^{\pi-x}$이다.따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^x-e^{\pi-x}$이다.

2-2.[풀이] $\displaystyle I=\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx$라 하자. $\displaystyle x=\pi-t$로 치환하면,$\displaystyle \begin{aligned}&=\int_\pi^0 f(\pi-t)\sin(\pi-t)(-dt)\\&=\int_0^\pi f(x-x)\sin x\,dx\end{aligned}$Correction. 치환적분 뒤의 $\displaystyle f(x-x)$는 $\displaystyle f(\pi-x)$의 오기이다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle I=\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=\int_0^\pi f(\pi-x)\sin x\,dx$이다.따라서, $\displaystyle \begin{aligned}2I&=\int_0^\pi(f(x)+f(\pi-x))\sin x\,dx\\&=\int_0^\pi g(x)\sin x\,dx\end{aligned}$이므로,$\displaystyle I=\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=\frac12\int_0^\pi g(x)\sin x\,dx$

이 때, 제시문 <나> 의 부분적분법을 이용하면,Correction. 부분적분법을 설명하는 제시문 <나>는 <가>의 오기이다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}I&=\frac12\int_0^\pi g(x)\sin x\,dx=\frac12\left\{\Biggl[-g(x)\cos x\Biggr]_0^\pi+\int_0^\pi g^{\prime}(x)\cos x\,dx\right\}\\&=\frac12\left\{g(\pi)+g(0)+\int_0^\pi(e^x-e^{\pi-x})\cos x\,dx\right\}\end{aligned}$이다.이 때, $\displaystyle g(\pi)=e^\pi+2,g(0)=e^\pi+2$이고,$\displaystyle \int_0^\pi e^x\cos x\,dx=-\int_0^\pi e^{\pi-x}\cos x\,dx$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}I&=\frac12\left\{2e^\pi+4+2\int_0^\pi e^x\cos x\,dx\right\}\\&=\frac12\{2e^\pi+4-e^\pi-1\}\\&=\frac{e^\pi+3}{2}\end{aligned}$이다.그러므로, $\displaystyle \int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=\frac{e^\pi+3}{2}$이다.