자연계열 3번

3-1.[풀이]$\displaystyle \begin{aligned}3^{201}&=3\cdot3^{200}\\&=3\cdot9^{100}\\&=3\cdot(10-1)^{100}\\&=3\cdot({}_{100}C_0(-1)^{100}+{}_{100}C_1\,10(-1)^{99}+\cdots+{}_{100}C_{100}\,10^{100})\end{aligned}$이 때, $\displaystyle {}_{100}C_1\,10(-1)^{99}+\cdots+{}_{100}C_{100}\,10^{100}$$\displaystyle =1000(-1+505+\cdots+10^{97})$이므로 1000 으로 나누어 떨어진다.Correction. 이항전개에서 $\displaystyle 1000$을 묶은 뒤의 계수 $\displaystyle 505$는 $\displaystyle 495$의 오기이다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, $\displaystyle 3^{200}$을 1000으로 나누었을 때, 나머지는 1이고,$\displaystyle 3^{201}$을 1000으로 나누었을 때, 나머지는 3이다. 그러므로, $\displaystyle P_3=3$이다.

3-2.[풀이] $\displaystyle \begin{aligned}7^{201}&=7\cdot7^{200}\\&=7\cdot49^{100}\\&=7\cdot(50-1)^{100}\\&=7\cdot({}_{100}C_0(-1)^{100}+{}_{100}C_1\,50(-1)^{99}+\cdots+{}_{100}C_{100}\,50^{100})\end{aligned}$이 때, $\displaystyle {}_{100}C_1\,50(-1)^{99}+\cdots+{}_{100}C_{100}\,50^{100}$은 1000 으로 나누어 떨어진다.따라서, $\displaystyle 7^{201}$을 1000으로 나누었을 때, 나머지는 7이다.그러므로, $\displaystyle P_7=7$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}9^{201}&=9\cdot9^{200}\\&=9\cdot(10-1)^{200}\\&=9\cdot({}_{200}C_0(-1)^{200}+{}_{200}C_1\,10(-1)^{199}+\cdots+{}_{200}C_{200}\,10^{200})\end{aligned}$이므로, $\displaystyle P_9=9$.

$\displaystyle \begin{aligned}11^{201}&=11\cdot11^{200}\\&=11\cdot(10+1)^{200}\\&=11\cdot({}_{200}C_0+{}_{200}C_1\,10+\cdots+{}_{200}C_{200}\,10^{200})\end{aligned}$이므로, $\displaystyle P_{11}=11$

$\displaystyle \begin{aligned}13^{201}&=13\cdot(10+3)^{200}\\&=13\cdot({}_{200}C_0\,3^{200}+{}_{200}C_1\,10(3)^{199}+\cdots+{}_{200}C_{200}\,10^{200})\end{aligned}$이다.3-1 의 결과에서 $\displaystyle 3^{200}$을 1000으로 나눈 나머지는 1이고,$\displaystyle {}_{200}C_1\,10(3)^{199}+\cdots+{}_{200}C_{200}\,10^{200}$는 1000으로 나누어떨어진다.따라서 $\displaystyle P_{13}=13$.위와 같은 방법으로$\displaystyle P_{17}=17$, $\displaystyle P_{19}=19,\cdots,P_{49}=49$이다.따라서, $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{20}a_k&=P_1+P_3+\cdots+P_{49}\\&=\sum_{k=1}^{25}(2k-1)-5(1+3+5+7+9)=500\end{aligned}$이다.