자연계열 1번

1-1. [풀이]그림에서 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{CB}=(a,b-q)$와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(a,b)$는 수직이므로$\displaystyle 0=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OB}=a^2+(b-q)b$.따라서, $\displaystyle bq=a^2+b^2$이고$\displaystyle \frac qa=\frac ab+\frac ba$.(또는, $\displaystyle q=\overline{OB}\operatorname{cosec}\alpha=\overline{OA}\sec\alpha\operatorname{cosec}\alpha=a\frac{\sqrt{a^2+b^2}}a\frac{\sqrt{a^2+b^2}}b$이므로 $\displaystyle \frac qa=\frac ab+\frac ba$.)따라서 $\displaystyle x=\frac ab$로 놓으면 $\displaystyle \frac qa=x+\frac1x$이고$\displaystyle x=1$, 즉 $\displaystyle a=b$일 때 최소가 되며 최솟값 2를 갖는다.

1-2. [풀이]그림에서 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{DC}=(m,n-q)$와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OC}=(m,n)$는 수직이므로$\displaystyle 0=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{OC}=m^2+(n-q)n$.따라서, $\displaystyle nq=m^2+n^2$.그리고 $\displaystyle \overrightarrow{CB}=(a-m,b-n)$과 $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(a,b)$는 수직이므로$\displaystyle 0=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OB}=(a-m)a+(b-n)b$.따라서 $\displaystyle am+bn=a^2+b^2$.

$\displaystyle a,b,m,n$이 자연수이면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac ba$와 $\displaystyle \tan\beta=\frac nm$은 유리수이다.그러므로, 탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\overline{OB}}=\tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\frac nm-\frac ba}{1+\frac ba\frac nm}$도 유리수임을 알 수 있다.

1-3. [풀이]문제 1-2의 식에 $\displaystyle q=5$를 대입하면,(i) $\displaystyle m^2+n^2=5n$.따라서 $\displaystyle \frac{m^2}n+n=5$이므로 $\displaystyle m^2=nk$ ($\displaystyle k$는 자연수)일 때 해가 존재하며 $\displaystyle n=5-k$이다.

$\displaystyle k=2,3$일 때 $\displaystyle m^2=2\cdot3=6$이므로 자연수 $\displaystyle m$인 해는 없다.$\displaystyle k=1$과 $\displaystyle k=4$이면 두 개의 해 $\displaystyle (m,n)=(2,4)$ 또는 $\displaystyle (2,1)$이 존재하는데,이 가운데 $\displaystyle (m,n)=(2,1)$은 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 해가 존재할 수 없기 때문에 $\displaystyle (m,n)=(2,4)$가 해가 된다.

(ii) $\displaystyle (m,n)=(2,4)$이면 $\displaystyle 2a+4b=a^2+b^2$.따라서 $\displaystyle (a-1)^2+(b-2)^2=5$.$\displaystyle a,b$의 자연수 해는 $\displaystyle a-1=2$, $\displaystyle b-2=\pm1$을 만족하는 경우이다.$\displaystyle a=3$이며, $\displaystyle b=3$ 또는 $\displaystyle b=1$.점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle (a,b)=(3,3)$과 $\displaystyle (a,b)=(3,1)$이 된다.이때, $\displaystyle q=5$이고 $\displaystyle a=3$이므로$\displaystyle \frac qa=\frac53$.