한양대 에리카캠퍼스 2019학년도 수시 오전 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문 <가>와 <나>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> $\displaystyle x$ 축 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,0)$ 에서의 수선과 원점을 지나는 직선 $\displaystyle \ell$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm{B}(a,b)$ 라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 지나는 수선이 $\displaystyle y$ 축과 만나는 교점을 $\displaystyle \mathrm{C}(0,q)$ 라 하자. (단, $\displaystyle a>0,0<b<q$ )

<나> 원점을 지나는 두 직선 $\displaystyle \ell_1$ , $\displaystyle \ell_2$ 가 그림과 같고, $\displaystyle x$ 축 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 에서의 수선과 $\displaystyle \ell_1$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에서의 수선과 $\displaystyle \ell_2$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm{C}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서의 수선과 $\displaystyle y$ 축의 교점을 $\displaystyle \mathrm{D}$ 라 하자.(단, $\displaystyle 0<m<a,0<b<n<q$ )

1-1. 제시문 <가>에서 $\displaystyle \frac qa$ 를 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 좌표 $\displaystyle a,b$ 로 나타내고 $\displaystyle \frac qa$ 의 최솟값을 구하시오. [10점]

1-2. 제시문 <나>에서 식 $\displaystyle nq=m^2+n^2$ 과 식 $\displaystyle am+bn=a^2+b^2$ 이 성립함을 보이고, $\displaystyle a,b,m,n$ 이 자연수일 때 두 선분의 길이의 비 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{OB}}}$ 가 유리수임을 보이시오. [15점]

1-3. 제시문 <나>에서 $\displaystyle q=5$ 일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 좌표들을 모두 구하고, 이때 $\displaystyle \frac qa$ 의 값을 구하시오.(단, $\displaystyle a,b,m,n$ 은 모두 자연수) [10점]

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1-1. [풀이]그림에서 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{CB}=(a,b-q)$ 와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(a,b)$ 는 수직이므로 $\displaystyle 0=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OB}=a^2+(b-q)b$ .따라서, $\displaystyle bq=a^2+b^2$ 이고 $\displaystyle \frac qa=\frac ab+\frac ba$ .(또는, $\displaystyle q=\overline{OB}\operatorname{cosec}\alpha=\overline{OA}\sec\alpha\operatorname{cosec}\alpha=a\frac{\sqrt{a^2+b^2}}a\frac{\sqrt{a^2+b^2}}b$ 이므로 $\displaystyle \frac qa=\frac ab+\frac ba$ .)따라서 $\displaystyle x=\frac ab$ 로 놓으면 $\displaystyle \frac qa=x+\frac1x$ 이고 $\displaystyle x=1$ , 즉 $\displaystyle a=b$ 일 때 최소가 되며 최솟값 2를 갖는다.

1-2. [풀이]그림에서 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{DC}=(m,n-q)$ 와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OC}=(m,n)$ 는 수직이므로 $\displaystyle 0=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{OC}=m^2+(n-q)n$ .따라서, $\displaystyle nq=m^2+n^2$ .그리고 $\displaystyle \overrightarrow{CB}=(a-m,b-n)$ 과 $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(a,b)$ 는 수직이므로 $\displaystyle 0=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OB}=(a-m)a+(b-n)b$ .따라서 $\displaystyle am+bn=a^2+b^2$ .

$\displaystyle a,b,m,n$ 이 자연수이면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac ba$ 와 $\displaystyle \tan\beta=\frac nm$ 은 유리수이다.그러므로, 탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하면 $\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\overline{OB}}=\tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\frac nm-\frac ba}{1+\frac ba\frac nm}$ 도 유리수임을 알 수 있다.

1-3. [풀이]문제 1-2의 식에 $\displaystyle q=5$ 를 대입하면,(i) $\displaystyle m^2+n^2=5n$ .따라서 $\displaystyle \frac{m^2}n+n=5$ 이므로 $\displaystyle m^2=nk$ ( $\displaystyle k$ 는 자연수)일 때 해가 존재하며 $\displaystyle n=5-k$ 이다.

$\displaystyle k=2,3$ 일 때 $\displaystyle m^2=2\cdot3=6$ 이므로 자연수 $\displaystyle m$ 인 해는 없다. $\displaystyle k=1$ 과 $\displaystyle k=4$ 이면 두 개의 해 $\displaystyle (m,n)=(2,4)$ 또는 $\displaystyle (2,1)$ 이 존재하는데,이 가운데 $\displaystyle (m,n)=(2,1)$ 은 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 해가 존재할 수 없기 때문에 $\displaystyle (m,n)=(2,4)$ 가 해가 된다.

(ii) $\displaystyle (m,n)=(2,4)$ 이면 $\displaystyle 2a+4b=a^2+b^2$ .따라서 $\displaystyle (a-1)^2+(b-2)^2=5$ . $\displaystyle a,b$ 의 자연수 해는 $\displaystyle a-1=2$ , $\displaystyle b-2=\pm1$ 을 만족하는 경우이다. $\displaystyle a=3$ 이며, $\displaystyle b=3$ 또는 $\displaystyle b=1$ .점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 좌표는 $\displaystyle (a,b)=(3,3)$ 과 $\displaystyle (a,b)=(3,1)$ 이 된다.이때, $\displaystyle q=5$ 이고 $\displaystyle a=3$ 이므로 $\displaystyle \frac qa=\frac53$ .

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자연계열 1번

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