자연계열 1번

1-1. [풀이]$\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이므로 $\displaystyle f(x)$가 증가함수이다.$\displaystyle f\left(\frac\pi2\right)-f(0)=\int_0^{\frac\pi2}f^{\prime}(x)dx=\int_0^{\frac\pi2}k\cos x\,dx=\Biggl[k\sin x\Biggr]_0^{\frac\pi2}=k$$\displaystyle f(\pi)-f\left(\frac\pi2\right)=\int_{\frac\pi2}^{\pi}f^{\prime}(x)dx=\int_{\frac\pi2}^{\pi}-l\cos x\,dx=\Biggl[-l\sin x\Biggr]_{\frac\pi2}^{\pi}=l$$\displaystyle f\left(\frac{3\pi}2\right)-f(\pi)=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}2}f^{\prime}(x)dx=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}2}-m\cos x\,dx=\Biggl[-m\sin x\Biggr]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}=m$$\displaystyle f(2\pi)-f\left(\frac{3\pi}2\right)=\int_{\frac{3\pi}2}^{2\pi}f^{\prime}(x)dx=\int_{\frac{3\pi}2}^{2\pi}n\cos x\,dx=\Biggl[n\sin x\Biggr]_{\frac{3\pi}2}^{2\pi}=n$이고$\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 연속함수이므로 $\displaystyle 8=f(2\pi)-f(0)=k+l+m+n$을 얻는다.따라서, 구하는 순서쌍의 개수는 중복조합의 수이므로 $\displaystyle {}_4\mathrm{H}_8={}_{11}\mathrm{C}_8=\frac{11\times10\times9}{1\times2\times3}=165$이다.

1-2. [풀이]문제 1-1의 풀이에 의해 구하는 개수는 $\displaystyle k\le l\le m=n$와 $\displaystyle k+l+m+n=8$을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 이의 개수를 구해보자.(i) $\displaystyle m=n=4$일 때, $\displaystyle (k,l,m,n)=(0,0,4,4)$인 한 개의 해가 존재한다.(ii) $\displaystyle m=n=3$일 때, 이는 $\displaystyle k\le l$이고 $\displaystyle k+l=2$인 해를 구하는 경우이므로 $\displaystyle (k,l,m,n)$은 $\displaystyle (0,2,3,3)$ 혹은 $\displaystyle (1,1,3,3)$인 두 개의 해가 존재한다.(iii) $\displaystyle m=n=2$일 때, 이는 $\displaystyle k\le l\le2$이고 $\displaystyle k+l=4$인 해를 구하는 경우이므로 $\displaystyle (k,l,m,n)=(2,2,2,2)$인 한 개의 해가 존재한다.$\displaystyle m=n\le1$인 경우 $\displaystyle k+l+m+n\le4$이고 $\displaystyle m=n\ge5$인 경우 $\displaystyle k+l+m+n\ge10$이므로 해가 존재하지 않는다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 4이다.

1-3. [풀이]$\displaystyle -\cos x=t$로 치환하면 $\displaystyle \sin x\,dx=dt$이므로 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\,dx=\int_{-1}^0(1-t^2)dt=\Biggl[t-\frac{t^3}3\Biggr]_{-1}^0=\frac23$이고 $\displaystyle \sin x=u$로 치환하면 $\displaystyle \cos x\,dx=du$이므로 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\cos^3x\,dx=\int_0^1(1-u^2)du=\Biggl[u-\frac{u^3}3\Biggr]_0^1=\frac23$이다. 그리고$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx=1$이므로 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(2a\sin x+2b\cos x+3c\sin^3x+3d\cos^3x)dx=20$은 $\displaystyle a+b+c+d=10$과 동치이다. 따라서 구하는 수는 $\displaystyle a<b<c<d$와 $\displaystyle a+b+c+d=10$을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. $\displaystyle a^{\prime}=a$, $\displaystyle b^{\prime}=b-1$, $\displaystyle c^{\prime}=c-2$, $\displaystyle d^{\prime}=d-3$이라면 조건 $\displaystyle a^{\prime}\le b^{\prime}\le c^{\prime}\le d^{\prime}$와 $\displaystyle a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime}+d^{\prime}=4$를 얻는데 이는 위의 조건과 동치이다. (i) $\displaystyle d^{\prime}=4$이면 $\displaystyle (a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=(0,0,0)$를 얻고, (ii) $\displaystyle d^{\prime}=3$이면 $\displaystyle c^{\prime}=1$과 $\displaystyle (a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=(0,0,1)$, (iii) $\displaystyle d^{\prime}=2$이면 $\displaystyle (a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=(0,0,2)$ 혹은 $\displaystyle (a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=(0,1,1)$을 얻고, (iv) $\displaystyle d^{\prime}=1$이면 $\displaystyle (a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=(1,1,1)$을 얻는다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 5이다.