자연계열 2번

2-1. [풀이]원점 O에서 $\displaystyle \overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 하자. 그러면 $\displaystyle \overline{OH}\perp\overline{AB}$이고 $\displaystyle \overline{CH}\perp\overline{AB}$이다. $\displaystyle \overline{OH}=l$라 하면 $\displaystyle \triangle OAB$의 넓이로 부터$\displaystyle \frac12l\sqrt{a^2+b^2}=\frac12ab\Rightarrow l=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$$\displaystyle (a,0,0)$, $\displaystyle (0,b,0)$, $\displaystyle (0,0,\sqrt7)$을 지나는 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은$\displaystyle \sqrt7bx+\sqrt7ay+abz-\sqrt7ab=0$이므로원점으로부터의 거리는$\displaystyle \frac{|-\sqrt7ab|}{\sqrt{7b^2+7a^2+a^2b^2}}=\frac{\sqrt7}3\Rightarrow3ab=\sqrt{7a^2+7b^2+a^2b^2}$$\displaystyle \Rightarrow8a^2b^2=7(a^2+b^2)$$\displaystyle \Rightarrow\sqrt{\frac78}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$그러므로 $\displaystyle l=\sqrt{\frac78}$

$\displaystyle \triangle ABC$의 넓이는$\displaystyle \frac12\sqrt{7+l^2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac32\sqrt7$$\displaystyle \sqrt{7+l^2}=\sqrt{\frac{63}8}$$\displaystyle a^2+b^2=8$이고 $\displaystyle ab=\sqrt7$이를 풀면 $\displaystyle a=\sqrt7,b=1$ $\displaystyle (a>b)$평면의 방정식 $\displaystyle px+qy+rz+s=0$에 $\displaystyle (\sqrt7,0,0)$, $\displaystyle (0,1,0)$, $\displaystyle (0,0,\sqrt7)$을 대입하여 풀면평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은$\displaystyle x+\sqrt7y+z-\sqrt7=0$이다.

2-2. [풀이]$\displaystyle \overline{OD}=m$이라 하자.평면 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \angle\mathrm{OHC}$의 각을 이등분하므로$\displaystyle \overline{CH}:\overline{OH}=\overline{CD}:\overline{OD}$에서$\displaystyle \sqrt{\frac{63}8}:\sqrt{\frac78}=\sqrt7-m:m$$\displaystyle m=\frac{\sqrt7}4$을 얻는다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이:삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}$의 넓이=$\displaystyle \overline{CH}:\overline{DH}=\sqrt{\frac{63}8}:\sqrt{\frac{21}{16}}=\sqrt6:1$

평면의 방정식 $\displaystyle px+qy+rz+s=0$에 $\displaystyle (\sqrt7,0,0)$, $\displaystyle (0,1,0)$, $\displaystyle \left(0,0,\frac{\sqrt7}4\right)$을 대입하여 풀면그러므로 평면 $\displaystyle \beta$의 방정식은 $\displaystyle x+\sqrt7y+4z-\sqrt7=0$이다.