자연계열 2번

2-1. [풀이]제시문 <가>의 합성함수의 미분법에 의해$\displaystyle \{g(f(x))\}^{\prime}=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)$이고 조건 $\displaystyle g(f(x))=\ln\sqrt{1+x^2}$에 의해 $\displaystyle \{g(f(x))\}^{\prime}=\frac{\frac12\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}}=\frac x{1+x^2}$이다. $\displaystyle \lim_{x\to\pi}\frac{g(x)-g(\pi)}{x-\pi}=g^{\prime}(\pi)$이고 $\displaystyle f(\pi)=\int_0^{\pi}(1-\cos t)dt=\Biggl[t-\sin t\Biggr]_0^{\pi}=\pi$이다. 또한 제시문 <나>의 정적분과 미분과의 관계에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\cos x$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(\pi)=2$이다. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(\pi)f^{\prime}(\pi)=2g^{\prime}(\pi)$이고 $\displaystyle g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)=\frac x{1+x^2}$이므로 구하는 값은 $\displaystyle \frac\pi{2+2\pi^2}$이다.

2-2. [풀이]$\displaystyle \int_0^2(x-1)^3\cos(\pi x)dx=\int_{-1}^1-x^3\cos(\pi x)dx$이고 $\displaystyle y=x^3\cos(\pi x)$가 원점대칭인 함수이므로 $\displaystyle \int_0^2(x-1)^3\cos(\pi x)dx=0$이다.따라서, $\displaystyle \frac1{\sin\pi x}\int_0^{2+x}(t-1)^3\cos(\pi t)dt=\frac1{\frac{\sin\pi x}x}\frac{\int_0^{2+x}(t-1)^3\cos(\pi t)dt-\int_0^2(t-1)^3\cos(\pi t)dt}x$이다.그리고 $\displaystyle \sin0=0$이고 $\displaystyle (\sin x)^{\prime}=\cos x$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin\pi x}x=\lim_{x\to0}\frac{\sin\pi x-\sin\pi0}{x}=\pi\cos0=\pi$이다. 또한 제시문 <나>의 정적분과 미분과의 관계에 의해 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_0^{2+x}(t-1)^3\cos(\pi t)dt-\int_0^2(t-1)^3\cos(\pi t)dt}x=\cos2\pi=1$이다. 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \frac1\pi$이다.