자연계열 3번

3-1. [풀이]확률변수 $\displaystyle X$가 홀수일 확률을 $\displaystyle p$라 하면 짝수일 확률은 $\displaystyle 1-p$이므로구하고자 하는 확률은 $\displaystyle p(1-p)$이다. $\displaystyle p$는 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이의 값이므로 이 확률의 최댓값은 $\displaystyle \frac14$이 된다.

3-2. [풀이]$\displaystyle p_1=\mathrm{P}(X=1)=\mathrm{P}(X\le1)-\mathrm{P}(X\le0)=2c$이고$\displaystyle x\ge2$일 때, $\displaystyle p_x=P(X\le x)-P(X\le x-1)=cx(x+1)-c(x-1)x=2cx$이것은 $\displaystyle x=1$일 때도 성립한다. <가>에 $\displaystyle p_1+p_2+p_3+\cdots+p_{2n}=1$이므로$\displaystyle 2c(1+2+3+\cdots+2n)=1$에서 $\displaystyle 2cn(2n+1)=1$이다.따라서 $\displaystyle c=\frac1{2n(2n+1)}$이다. 즉, $\displaystyle p_x=\frac1{n(2n+1)}x,\quad x=1,2,3,\cdots,2n$.이제 <나>에 있는 기댓값의 정의에 의하여$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{x=1}^{2n}xp_x=\frac1{n(2n+1)}\sum_{x=1}^{2n}x^2=\frac1{n(2n+1)}\cdot\frac{2n(2n+1)(4n+1)}6=\frac{4n+1}3$.