한양대 에리카캠퍼스 2019학년도 수시 오전 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 다음과 같은 집합이 주어진다. $\displaystyle A_1=\{1,2,3,\cdots,m\}$ $\displaystyle A_2=\{1,2,3,\cdots,2m\}$ $\displaystyle A_3=\{1,2,3,\cdots,3m\}$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle A_{12}=\{1,2,3,\cdots,12m\}$ (단, $\displaystyle m$ 은 1보다 큰 자연수)

<나> $\displaystyle A_i$ 에서 $\displaystyle A_{i+1}$ 로의 함수 $\displaystyle f_i:A_i\to A_{i+1}$ 의 개수는 $\displaystyle h_i(m)$ 이다.

<다> $\displaystyle A_i$ 에서 $\displaystyle A_{i+1}$ 로의 함수 $\displaystyle f_i:A_i\to A_{i+1}$ 중에서 ‘ $\displaystyle k\in A_i,l\in A_i$ 이고 $\displaystyle k<l$ 이면 $\displaystyle f_i(k)<f_i(l)$ 이다’를 만족하는 것의 개수는 $\displaystyle r_i(m)$ 이다. (예를 들면, $\displaystyle r_3(m)$ 은 $\displaystyle A_3$ 에서 $\displaystyle A_4$ 로의 함수 $\displaystyle f_3:A_3\to A_4$ 중에서 ‘ $\displaystyle k\in A_3,l\in A_3$ 이고 $\displaystyle k<l$ 이면 $\displaystyle f_3(k)<f_3(l)$ 이다’를 만족하는 것의 개수이다.)

<라> $\displaystyle A_i$ 에서 $\displaystyle A_{i+2}$ 로의 함수 $\displaystyle g_i:A_i\to A_{i+2}$ 중에서 ‘ $\displaystyle k\in A_i,l\in A_i$ 이고 $\displaystyle k<l$ 이면 $\displaystyle g_i(k)<g_i(l)$ 이다’를 만족하는 것의 개수는 $\displaystyle s_i(m)$ 이다. (예를 들면, $\displaystyle s_3(m)$ 은 $\displaystyle A_3$ 에서 $\displaystyle A_5$ 로의 함수 $\displaystyle g_3:A_3\to A_5$ 중에서 ‘ $\displaystyle k\in A_3,l\in A_3$ 이고 $\displaystyle k<l$ 이면 $\displaystyle g_3(k)<g_3(l)$ 이다’를 만족하는 것의 개수이다.)

3-1. $\displaystyle h_1(m)$ , $\displaystyle r_1(m)$ , $\displaystyle s_1(m)$ 에 대하여 다음을 구하시오. [15점] $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{(2m)^{m-1}}{h_1(m)}\ln\frac{s_1(m)}{r_1(m)}$

3-2. 다음을 구하시오. [20점] $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{(2m)^{m-1}}{h_1(m)}\ln\frac{s_1(m)s_2(m)\cdots s_{10}(m)}{r_1(m)r_2(m)\cdots r_{10}(m)}$

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3-1. [풀이] $\displaystyle \frac{s_1(m)}{r_1(m)}=\frac{{}_{3m}\mathrm{C}_m}{{}_{2m}\mathrm{C}_m}=\frac{\frac{(3m)!}{m!(2m)!}}{\frac{(2m)!}{m!m!}}=\frac{(2m+1)(2m+2)\cdots(2m+m)}{(m+1)(m+2)\cdots(m+m)}$ $\displaystyle \begin{aligned}\ln\frac{s_1(m)}{r_1(m)}&=\ln\frac{{}_{3m}\mathrm{C}_m}{{}_{2m}\mathrm{C}_m}=\sum_{k=1}^m\ln(2m+k)-\sum_{k=1}^m\ln(m+k)\\&=\sum_{k=1}^m\ln m\left(2+\frac km\right)-\sum_{k=1}^m\ln m\left(1+\frac km\right)\\&=\sum_{k=1}^m\ln\left(2+\frac km\right)-\sum_{k=1}^m\ln\left(1+\frac km\right)\end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{m\to\infty}\frac{(2m)^{m-1}}{h_1(m)}\ln\frac{s_1(m)}{r_1(m)}&=\lim_{m\to\infty}\frac1{2m}\left(\sum_{k=1}^m\ln\left(2+\frac km\right)-\sum_{k=1}^m\ln\left(1+\frac km\right)\right)=\frac12\left[\int_2^3\ln x\,dx-\int_1^2\ln x\,dx\right]\\&=\frac12[3\ln3-4\ln2]\end{aligned}$

3-2. [풀이] $\displaystyle \frac{s_2(m)}{r_2(m)}=\frac{{}_{4m}\mathrm{C}_{2m}}{{}_{3m}\mathrm{C}_{2m}}=\frac{\frac{(4m)!}{2m!(2m)!}}{\frac{(3m)!}{(2m)!m!}}=\frac{(2m+1)\cdots(2m+2m)}{(m+1)\cdots(m+2m)}$ Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 분모의 $\displaystyle 2m!$ 은 $\displaystyle (2m)!$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \begin{aligned}\ln\frac{s_2(m)}{r_2(m)}&=\ln\frac{{}_{4m}\mathrm{C}_{2m}}{{}_{3m}\mathrm{C}_{2m}}=\sum_{k=1}^{2m}\ln(2m+k)-\sum_{k=1}^{2m}\ln(m+k)\\&=\sum_{k=1}^{2m}\ln\left(2+\frac km\right)-\sum_{k=1}^{2m}\ln\left(1+\frac km\right)\end{aligned}$ $\displaystyle \frac{s_3(m)}{r_3(m)}=\frac{{}_{5m}\mathrm{C}_{3m}}{{}_{4m}\mathrm{C}_{3m}}=\frac{\frac{(5m)!}{3m!(2m)!}}{\frac{(4m)!}{(3m)!m!}}=\frac{(2m+1)\cdots(2m+3m)}{(m+1)\cdots(m+3m)}$ Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 분모의 $\displaystyle 3m!$ 은 $\displaystyle (3m)!$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \ln\frac{s_3(m)}{r_3(m)}=\ln\frac{{}_{5m}\mathrm{C}_{3m}}{{}_{4m}\mathrm{C}_{3m}}=\sum_{k=1}^{3m}\ln\left(2+\frac km\right)-\sum_{k=1}^{3m}\ln\left(1+\frac km\right)$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \frac{s_{10}(m)}{r_{10}(m)}=\frac{{}_{12m}\mathrm{C}_{10m}}{{}_{11m}\mathrm{C}_{10m}}=\frac{\frac{(12m)!}{10m!(2m)!}}{\frac{(11m)!}{(10m)!m!}}=\frac{(2m+1)\cdots(2m+10m)}{(m+1)\cdots(m+10m)}$ Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 분모의 $\displaystyle 10m!$ 은 $\displaystyle (10m)!$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \ln\frac{s_{10}(m)}{r_{10}(m)}=\ln\frac{{}_{12m}\mathrm{C}_{10m}}{{}_{11m}\mathrm{C}_{10m}}=\sum_{k=1}^{10m}\ln\left(2+\frac km\right)-\sum_{k=1}^{10m}\ln\left(1+\frac km\right)$ $\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{m\to\infty}\frac{(2m)^{m-1}}{h_1(m)}\ln\frac{s_1(m)\cdots s_{10}(m)}{r_1(m)\cdots r_{10}(m)}\\&=\frac12\left[\int_2^3\ln x\,dx-\int_1^2\ln x\,dx+\int_2^4\ln x\,dx-\int_1^3\ln x\,dx+\int_2^5\ln x\,dx-\int_1^4\ln x\,dx+\cdots+\int_2^{11}\ln x\,dx-\int_1^{10}\ln x\,dx+\int_2^{12}\ln x\,dx-\int_1^{11}\ln x\,dx\right]\\&=\frac12\left[\int_2^3\ln x\,dx-\int_1^2\ln x\,dx+\int_3^4\ln x\,dx-\int_1^2\ln x\,dx+\cdots+\int_{11}^{12}\ln x\,dx-\int_1^2\ln x\,dx\right]\\&=\frac12\left[\int_2^{12}\ln x\,dx-10\int_1^2\ln x\,dx\right]\\&=6\ln3+\ln2\end{aligned}$

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자연계열 3번

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