자연계열 1번

1-1. [풀이]확률변수 $\displaystyle X$가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(k,k)$을 따르므로 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-k}{\sqrt k}$은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$을 따른다.따라서, $\displaystyle \mathrm{P}\left(X\le-\frac14\right)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac{-\frac14-k}{\sqrt k}\right)=0.1587$에서 $\displaystyle \mathrm{P}(Z\le-1.0)=0.1587$이므로$\displaystyle \frac{-\frac14-k}{\sqrt k}=-1.0$$\displaystyle k+\frac14=\sqrt k$$\displaystyle \left(k+\frac14\right)^2=k$$\displaystyle k^2+\frac12k+\frac1{16}=k$$\displaystyle k^2-\frac12k+\frac1{16}=0$$\displaystyle \left(k-\frac14\right)^2=0$따라서, $\displaystyle k=\frac14=0.25$

1-2. [풀이]확률변수 $\displaystyle X$가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(6,2^2)$을 따르므로 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-6}2$은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$을 따른다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^5\mathrm{P}(X\le2n)&=\sum_{n=1}^5\mathrm{P}\left(Z\le\frac{2n-6}2\right)=\sum_{n=1}^5\mathrm{P}(Z\le n-3)\\&=\mathrm{P}(Z\le-2)+\mathrm{P}(Z\le-1)+\mathrm{P}(Z\le0)+\mathrm{P}(Z\le1)+\mathrm{P}(Z\le2)\end{aligned}$(여기서, 표준정규분포의 대칭성을 이용하여)$\displaystyle \begin{aligned}&=\mathrm{P}(Z\ge2)+\mathrm{P}(Z\ge1)+\mathrm{P}(Z\le0)+\mathrm{P}(Z\le1)+\mathrm{P}(Z\le2)\\&=\{\mathrm{P}(Z\ge2)+\mathrm{P}(Z\le2)\}+\{\mathrm{P}(Z\ge1)+\mathrm{P}(Z\le1)\}+\mathrm{P}(Z\le0)\\&=1+1+0.5\\&=2.5=\frac52\end{aligned}$따라서, $\displaystyle \frac pq=\frac52$이므로 $\displaystyle p+q=5+2=7$.

1-3. [풀이]크기가 $\displaystyle n$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균의 값을 $\displaystyle \overline{x}$라 하자. 모표준편차 $\displaystyle 0.5$이므로 모평균 $\displaystyle m$에 대한 신뢰도 $\displaystyle 99\%$인 신뢰구간은 다음과 같다.$\displaystyle \overline{x}-2.58\times\frac{0.5}{\sqrt n}\le m\le\overline{x}+2.58\times\frac{0.5}{\sqrt n}$이 때, $\displaystyle a\le m\le b$에서$\displaystyle b-a=2\times2.58\times\frac{0.5}{\sqrt n}$이므로$\displaystyle 2\times2.58\times\frac{0.5}{\sqrt n}\le0.258$$\displaystyle \sqrt n\ge10$양변을 제곱하면 $\displaystyle n\ge100$따라서, 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 $\displaystyle 100$이다.