수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

오류 제보

한양대 에리카캠퍼스 2020학년도 수시 오후 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2020su_pm/jayeon_3

이전 문제
배점35점
예상 소요 시간미공개

문제

[문제 3] 다음 제시문 <가>와 <나>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 좌표평면의 원점 O\displaystyle \mathrm{O}로부터 포물선 y2=23x−1\displaystyle y^2=2\sqrt3x-1에 그은 두 접선의 접점을 각각 A1\displaystyle \mathrm{A}_1과 A2\displaystyle \mathrm{A}_2라 하자.

<나> 포물선 y2=23x−1\displaystyle y^2=2\sqrt3x-1의 안쪽에 있으며 x\displaystyle x축과 점 B\displaystyle \mathrm{B}에서 접하고 접점 A1\displaystyle \mathrm{A}_1과 A2\displaystyle \mathrm{A}_2에서 포물선에 접하는 두 원의 중심을 각각 C1\displaystyle \mathrm{C}_1과 C2\displaystyle \mathrm{C}_2라 하자.

포물선의 두 접점 A₁·A₂와 두 원의 중심 C₁·C₂, 공통 접점 B 및 색칠된 영역 S

3-1. 삼각형 OA1A2\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{A}_2와 삼각형 OC1C2\displaystyle \mathrm{OC}_1\mathrm{C}_2의 넓이를 각각 구하시오. [15점]

3-2. 제시문 <나>의 그림에서 색칠되어 있는 부분 S\displaystyle S의 넓이를 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2020학년도 수시 오후 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2020su_pm/jayeon_3

누적 4점 · 3-1

3-1.[풀이]포물선 y2=23x−1\displaystyle y^2=2\sqrt3x-1 위의 점을 (a,±23a−1)\displaystyle \left(a,\pm\sqrt{2\sqrt3a-1}\right)이라하자. 그러면2yy′=23⇒y′=3y\displaystyle 2yy^{\prime}=2\sqrt3\quad\Rightarrow\quad y^{\prime}=\frac{\sqrt3}y이므로 x=a\displaystyle x=a에서 y′=±323a−1\displaystyle y^{\prime}=\pm\frac{\sqrt3}{\sqrt{2\sqrt3a-1}}이고 접선의 방정식은y±23a−1=∓323a−1(x−a)\displaystyle y\pm\sqrt{2\sqrt3a-1}=\mp\frac{\sqrt3}{\sqrt{2\sqrt3a-1}}(x-a)

누적 7점 · 3-1

이다. 이 접선이 원점을 지나므로 (0,0)\displaystyle (0,0)을 대입하면±23a−1=∓323a−1(−a)\displaystyle \pm\sqrt{2\sqrt3a-1}=\mp\frac{\sqrt3}{\sqrt{2\sqrt3a-1}}(-a)이다. 따라서23a−1=3a⇒a=13=33\displaystyle 2\sqrt3a-1=\sqrt3a\Rightarrow a=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3이므로 두 접점은 (33,±1)\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}3,\pm1\right)이고 삼각형 OA1A2\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{A}_2의 넓이는 33\displaystyle \frac{\sqrt3}3이다.

누적 15점 · 3-1

선분 OA1\displaystyle \mathrm{OA}_1의 길이가 13+1=23\displaystyle \sqrt{\frac13+1}=\frac2{\sqrt3}이고 양의 기울기를 가지는 접선과 x\displaystyle x축이 이루는 각을 θ\displaystyle \theta라고 하면 tan⁡θ=3\displaystyle \tan\theta=\sqrt3이므로 θ=π3\displaystyle \theta=\frac\pi3이다. 그러므로 중심이 C1\displaystyle \mathrm{C}_1인 원의 반지름 r\displaystyle r은r=OA1‾tan⁡θ2=23\displaystyle r=\overline{\mathrm{OA}_1}\tan\frac\theta2=\frac23따라서 삼각형 OA1C1\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{C}_1의 넓이는 233=239\displaystyle \frac2{3\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}9이고, 삼각형 OC1C2\displaystyle \mathrm{OC}_1\mathrm{C}_2의 넓이는 삼각형 OA1C1\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{C}_1의 넓이의 2배이므로 삼각형 OC1C2\displaystyle \mathrm{OC}_1\mathrm{C}_2의 넓이는 433=439\displaystyle \frac4{3\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}9이다.

누적 12점 · 3-2

3-2.[풀이]사각형 OBC1A1\displaystyle \mathrm{OBC}_1\mathrm{A}_1의 넓이를 S1\displaystyle S_1, 부채꼴 C1A1B\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{A}_1\mathrm{B}의 넓이를 S2\displaystyle S_2이라 하자. 사각형 OBC1A1\displaystyle \mathrm{OBC}_1\mathrm{A}_1의 넓이는 삼각형 OC1C2\displaystyle \mathrm{OC}_1\mathrm{C}_2의 넓이와 같으므로 S1=433\displaystyle S_1=\frac4{3\sqrt3}이다. 따라서도형 S\displaystyle S의 넓이 =2{S1−S2−[∫01{y2+123−y3}dy]}\displaystyle =2\left\{S_1-S_2-\left[\int_0^1\left\{\frac{y^2+1}{2\sqrt3}-\frac y{\sqrt3}\right\}dy\right]\right\}

누적 20점 · 3-2

=2{433−S2−[∫01{y2+123−y3}dy]}=2(763−4π27)\displaystyle \begin{aligned}&=2\left\{\frac4{3\sqrt3}-S_2-\left[\int_0^1\left\{\frac{y^2+1}{2\sqrt3}-\frac y{\sqrt3}\right\}dy\right]\right\}\\&=2\left(\frac7{6\sqrt3}-\frac{4\pi}{27}\right)\end{aligned}

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.