자연계열 3번

3-1.[풀이]포물선 $\displaystyle y^2=2\sqrt3x-1$ 위의 점을 $\displaystyle \left(a,\pm\sqrt{2\sqrt3a-1}\right)$이라하자. 그러면$\displaystyle 2yy^{\prime}=2\sqrt3\quad\Rightarrow\quad y^{\prime}=\frac{\sqrt3}y$이므로 $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle y^{\prime}=\pm\frac{\sqrt3}{\sqrt{2\sqrt3a-1}}$이고 접선의 방정식은$\displaystyle y\pm\sqrt{2\sqrt3a-1}=\mp\frac{\sqrt3}{\sqrt{2\sqrt3a-1}}(x-a)$

이다. 이 접선이 원점을 지나므로 $\displaystyle (0,0)$을 대입하면$\displaystyle \pm\sqrt{2\sqrt3a-1}=\mp\frac{\sqrt3}{\sqrt{2\sqrt3a-1}}(-a)$이다. 따라서$\displaystyle 2\sqrt3a-1=\sqrt3a\Rightarrow a=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3$이므로 두 접점은 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}3,\pm1\right)$이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{A}_2$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3$이다.

선분 $\displaystyle \mathrm{OA}_1$의 길이가 $\displaystyle \sqrt{\frac13+1}=\frac2{\sqrt3}$이고 양의 기울기를 가지는 접선과 $\displaystyle x$축이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라고 하면 $\displaystyle \tan\theta=\sqrt3$이므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$이다. 그러므로 중심이 $\displaystyle \mathrm{C}_1$인 원의 반지름 $\displaystyle r$은$\displaystyle r=\overline{\mathrm{OA}_1}\tan\frac\theta2=\frac23$따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{C}_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac2{3\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}9$이고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OC}_1\mathrm{C}_2$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{C}_1$의 넓이의 2배이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OC}_1\mathrm{C}_2$의 넓이는 $\displaystyle \frac4{3\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}9$이다.

3-2.[풀이]사각형 $\displaystyle \mathrm{OBC}_1\mathrm{A}_1$의 넓이를 $\displaystyle S_1$, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{A}_1\mathrm{B}$의 넓이를 $\displaystyle S_2$이라 하자. 사각형 $\displaystyle \mathrm{OBC}_1\mathrm{A}_1$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OC}_1\mathrm{C}_2$의 넓이와 같으므로 $\displaystyle S_1=\frac4{3\sqrt3}$이다. 따라서도형 $\displaystyle S$의 넓이 $\displaystyle =2\left\{S_1-S_2-\left[\int_0^1\left\{\frac{y^2+1}{2\sqrt3}-\frac y{\sqrt3}\right\}dy\right]\right\}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=2\left\{\frac4{3\sqrt3}-S_2-\left[\int_0^1\left\{\frac{y^2+1}{2\sqrt3}-\frac y{\sqrt3}\right\}dy\right]\right\}\\&=2\left(\frac7{6\sqrt3}-\frac{4\pi}{27}\right)\end{aligned}$