자연계열 1번

1-1.[풀이]

한 번의 시행에서 짝수가 적힌 공이 뽑힐 사건($\displaystyle A$)의 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac25$이고, 홀수가 적힌 공이 뽑힐 사건($\displaystyle A^C$)의 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A^C)=\frac35$이다. 이 때, 네 수의 합이 짝수일 확률은 다음과 같다.(i) 네 수가 모두 짝수인 경우$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac25\right)^4\left(\frac35\right)^0=\frac{16}{625}$

(ii) 네 수 중 두 수만 짝인 경우$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac25\right)^2\left(\frac35\right)^2=\frac{216}{625}$

(iii) 네 수가 모두 홀수인 경우$\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{0}\left(\frac25\right)^0\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}$

(i),(ii),(iii)에서 구하는 확률은$\displaystyle \frac{16}{625}+\frac{216}{625}+\frac{81}{625}=\frac{313}{625}$

즉, $\displaystyle p=313,q=625$이므로 $\displaystyle p+q=313+625=938$.

1-2.[풀이]1부터 5까지의 자연수로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 다음과 같다.$\displaystyle {}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\times4\times3=60$3의 배수가 되도록 세 개의 공을 뽑는 경우는 $\displaystyle (1,2,3)$, $\displaystyle (1,3,5)$, $\displaystyle (2,3,4)$, $\displaystyle (3,4,5)$ 네 가지이고, 각 경우에서 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 $\displaystyle 3!=3\times2\times1=6$이다. 따라서 3의 배수가 될 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{6\times4}{60}=\frac25$즉, $\displaystyle p=2,q=5$이다.

각 자리의 숫자의 합이 4의 배수가 되도록 세 개의 공을 뽑는 경우는 끝에 두 자릿수가 12, 24, 32, 52이 되어야 한다. 따라서 세 자리 자연수가 4의 배수가 되는 경우의 수는 다음과 같다.Comment. 여기서는 끝 두 자리 수가 4의 배수라는 조건을 써야 한다. 각 자리 숫자의 합으로 4의 배수 여부를 판정할 수는 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(i) $\displaystyle (3,1,2)$, $\displaystyle (4,1,2)$, $\displaystyle (5,1,2)$(ii) $\displaystyle (1,2,4)$, $\displaystyle (3,2,4)$, $\displaystyle (5,2,4)$(iii) $\displaystyle (1,3,2)$, $\displaystyle (4,3,2)$, $\displaystyle (5,3,2)$(iv) $\displaystyle (1,5,2)$, $\displaystyle (3,5,2)$, $\displaystyle (4,5,2)$따라서 4의 배수가 될 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{12}{60}=\frac15$즉, $\displaystyle u=1,v=5$이다.그러므로, $\displaystyle p+q+u+v=2+5+1+5=13$.

1-3.[풀이]5개의 공 중에서 2개의 공을 동시에 뽑는 경우의 수는 다음과 같다.$\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$

뽑힌 두 수를 $\displaystyle a,b$ ($\displaystyle a<b$)라 할 때, $\displaystyle a,b$의 순서쌍을 $\displaystyle (a,b)$로 나타내면 두 수의 차가 3이상인 경우는 $\displaystyle (1,4)$, $\displaystyle (1,5)$, $\displaystyle (2,5)$의 3가지이다. 따라서, 꺼낸 공에 적혀있는 두 수의 차가 3이상일 확률은 $\displaystyle \frac3{10}$이므로 확률변수 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(100,\frac3{10}\right)$을 따른다.

$\displaystyle \mathrm{V}(aX)=7$에서$\displaystyle \mathrm{V}(X)=100\times\frac3{10}\times\frac7{10}=21$$\displaystyle \mathrm{V}(aX)=a^2\mathrm{V}(X)=a^2\times21=7$에서$\displaystyle a^2=\frac13$$\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt3}$.