한양대 에리카캠퍼스 2020학년도 수시 오후 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문 <가>~<마>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 어떤 시행에서 표본공간 $\displaystyle S$ 의 각각의 원소가 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 표본공간 $\displaystyle S$ 의 원소의 개수 $\displaystyle n(S)$ , 사건 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수 $\displaystyle n(A)$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 수학적 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$ 는 아래와 같다. $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

<나> 사건 $\displaystyle A$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나지 않는 사건을 $\displaystyle A$ 의 여사건이라 하고, 기호로 $\displaystyle A^C$ 와 같이 나타낸다. 사건 $\displaystyle A$ 의 확률과 여사건 $\displaystyle A^C$ 의 확률 사이에는 다음 관계가 성립한다. $\displaystyle \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(A^C)=1$

<다> $\displaystyle 1$ 회의 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률을 $\displaystyle p$ 라 할 때, $\displaystyle n$ 회의 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하면 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수는 아래와 같다. $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}p^x(1-p)^{n-x}$ 이와 같은 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 이항분포라 하고, 기호로 $\displaystyle \mathrm{B}(n,p)$ 와 같이 나타낸다.

<라> 확률변수 $\displaystyle X$ 가 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(n,p)$ 를 따를 때, 확률변수 $\displaystyle X$ 의 평균과 분산은 아래와 같다. $\displaystyle \mathrm{E}(X)=np$ $\displaystyle \mathrm{V}(X)=np(1-p)$

<마> 상자에 $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle 5$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $\displaystyle 5$ 개의 공이 들어 있다.

1-1. 제시문 <마>의 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 숫자를 확인하고 다시 상자에 넣는다. 이와 같은 시행을 $\displaystyle 4$ 번 반복하여 나온 네 수의 합이 짝수일 확률은 $\displaystyle \frac pq$ 이다. $\displaystyle p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 서로소인 자연수이다.) [10점]

1-2. 제시문 <마>의 상자에서 임의로 $\displaystyle 3$ 개의 공을 동시에 뽑아서 세 자리 자연수를 만들었을 때, 이 자연수가 $\displaystyle 3$ 의 배수가 될 확률은 $\displaystyle \frac pq$ 이고, $\displaystyle 4$ 의 배수가 될 확률은 $\displaystyle \frac uv$ 이다. $\displaystyle p+q+u+v$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 서로소인 자연수이고, $\displaystyle u$ 와 $\displaystyle v$ 도 서로소인 자연수이다.) [15점]

1-3. 제시문 <마>의 상자에서 임의로 $\displaystyle 2$ 개의 공을 동시에 뽑아 숫자를 확인하고 다시 넣는 시행을 $\displaystyle 100$ 회 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 두 수의 차가 $\displaystyle 3$ 이상인 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{V}(aX)=7$ 일 때, $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>0$ ) [15점]

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누적 10점 · 1-1

1-1.[풀이]

한 번의 시행에서 짝수가 적힌 공이 뽑힐 사건( $\displaystyle A$ )의 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac25$ 이고, 홀수가 적힌 공이 뽑힐 사건( $\displaystyle A^C$ )의 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A^C)=\frac35$ 이다. 이 때, 네 수의 합이 짝수일 확률은 다음과 같다.(i) 네 수가 모두 짝수인 경우 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac25\right)^4\left(\frac35\right)^0=\frac{16}{625}$

(ii) 네 수 중 두 수만 짝인 경우 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac25\right)^2\left(\frac35\right)^2=\frac{216}{625}$

(iii) 네 수가 모두 홀수인 경우 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{0}\left(\frac25\right)^0\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}$

(i),(ii),(iii)에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{16}{625}+\frac{216}{625}+\frac{81}{625}=\frac{313}{625}$

즉, $\displaystyle p=313,q=625$ 이므로 $\displaystyle p+q=313+625=938$ .

누적 15점 · 1-2

1-2.[풀이]1부터 5까지의 자연수로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 다음과 같다. $\displaystyle {}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\times4\times3=60$ 3의 배수가 되도록 세 개의 공을 뽑는 경우는 $\displaystyle (1,2,3)$ , $\displaystyle (1,3,5)$ , $\displaystyle (2,3,4)$ , $\displaystyle (3,4,5)$ 네 가지이고, 각 경우에서 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 $\displaystyle 3!=3\times2\times1=6$ 이다. 따라서 3의 배수가 될 확률은 다음과 같다. $\displaystyle \frac{6\times4}{60}=\frac25$ 즉, $\displaystyle p=2,q=5$ 이다.

각 자리의 숫자의 합이 4의 배수가 되도록 세 개의 공을 뽑는 경우는 끝에 두 자릿수가 12, 24, 32, 52이 되어야 한다. 따라서 세 자리 자연수가 4의 배수가 되는 경우의 수는 다음과 같다.Correction. ‘각 자리의 숫자의 합이 4의 배수’는 ‘세 자리 자연수가 4의 배수’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(i) $\displaystyle (3,1,2)$ , $\displaystyle (4,1,2)$ , $\displaystyle (5,1,2)$ (ii) $\displaystyle (1,2,4)$ , $\displaystyle (3,2,4)$ , $\displaystyle (5,2,4)$ (iii) $\displaystyle (1,3,2)$ , $\displaystyle (4,3,2)$ , $\displaystyle (5,3,2)$ (iv) $\displaystyle (1,5,2)$ , $\displaystyle (3,5,2)$ , $\displaystyle (4,5,2)$ 따라서 4의 배수가 될 확률은 다음과 같다. $\displaystyle \frac{12}{60}=\frac15$ 즉, $\displaystyle u=1,v=5$ 이다.그러므로, $\displaystyle p+q+u+v=2+5+1+5=13$ .

누적 15점 · 1-3

1-3.[풀이]5개의 공 중에서 2개의 공을 동시에 뽑는 경우의 수는 다음과 같다. $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$

뽑힌 두 수를 $\displaystyle a,b$ ( $\displaystyle a<b$ )라 할 때, $\displaystyle a,b$ 의 순서쌍을 $\displaystyle (a,b)$ 로 나타내면 두 수의 차가 3이상인 경우는 $\displaystyle (1,4)$ , $\displaystyle (1,5)$ , $\displaystyle (2,5)$ 의 3가지이다. 따라서, 꺼낸 공에 적혀있는 두 수의 차가 3이상일 확률은 $\displaystyle \frac3{10}$ 이므로 확률변수 $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(100,\frac3{10}\right)$ 을 따른다.

$\displaystyle \mathrm{V}(aX)=7$ 에서 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=100\times\frac3{10}\times\frac7{10}=21$ $\displaystyle \mathrm{V}(aX)=a^2\mathrm{V}(X)=a^2\times21=7$ 에서 $\displaystyle a^2=\frac13$ $\displaystyle a>0$ 이므로 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt3}$ .

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