자연계열 2번

2-1.[풀이]$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-ae^{-t}$, 그리고 $\displaystyle y=1-\frac1x=1-\frac1ae^t$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac1ae^t$.

제시문 <가>로부터$\displaystyle v=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{(ae^{-t})^2+(1/ae^{-t})^2}$이므로 속력 $\displaystyle v$는 $\displaystyle ae^{-t}=1$, 즉 $\displaystyle x=1$일 때 최솟값을 갖는다.그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle (1,0)$의 위치일 때 속력이 최소가 되며 이때 $\displaystyle v=\sqrt2$이다.

2-2.[풀이]$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac\pi2e^{-t}=\frac\pi2-x$.$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\left|\frac{-\sin x}{\cos x}\right|=-|\tan x|$

$\displaystyle v=\left(\frac\pi2-x\right)\sqrt{1+\tan^2x}=\frac{\frac\pi2-x}{\cos x}=\frac{\frac\pi2-x}{\sin\left(\frac\pi2-x\right)}$

$\displaystyle t\to\infty$에 $\displaystyle x\to\frac\pi2-$이므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi2-x$라 놓으면$\displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t)=\lim_{x\to\frac\pi2-}\frac{\frac\pi2-x}{\sin\left(\frac\pi2-x\right)}=\lim_{\theta\to0+}\frac\theta{\sin\theta}=1$.