자연계열 3번

3-1. [풀이]점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$의 좌표가 $\displaystyle (0,1)$, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_2$의 좌표가 $\displaystyle (x_2,y_2)$이므로 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}=(0,1)$,벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2}=(x_2,y_2-1)$이다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2}$를 벡터 $\displaystyle \vec a$라 하면, 벡터 $\displaystyle \vec b=(y_2-1,-x_2)$는 $\displaystyle \vec a$와 수직이고 $\displaystyle |\vec b|=|\vec a|$.점 $\displaystyle \mathrm{A}_3$의 좌표가 $\displaystyle (x_3,y_3)$이므로 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$는 제시문 <가>의 규칙에 의해 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2}$에 수직이므로 벡터 $\displaystyle \vec b$에 평행하고 크기가 $\displaystyle r$배 작아진다.따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3}=r\vec b$이다.점 $\displaystyle \mathrm{A}_3$의 좌표 $\displaystyle (x_3,y_3)$은 다음과 같이 벡터합을 이용해 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}(x_3,y_3)&=\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2}+\overrightarrow{\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3}=(0,1)+(x_2,y_2-1)+r(y_2-1,-x_2)\\&=(x_2+r(y_2-1),y_2-rx_2)\end{aligned}$마찬가지로, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4}=(x_4-x_3,y_4-y_3)$는 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3}$에 수직,즉 $\displaystyle \vec a$와 반대 방향이고 크기는 다시 $\displaystyle r$배 더 작아지므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4}=-r^2\vec a$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{A}_4$의 좌표 $\displaystyle (x_4,y_4)$는$\displaystyle \begin{aligned}(x_4,y_4)&=\overrightarrow{\mathrm{OA}_4}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}+\overrightarrow{\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4}=(x_2+r(y_2-1),y_2-rx_2)-r^2(x_2,y_2-1)\\&=(x_2+r(y_2-1)-r^2x_2,y_2-rx_2-r^2(y_2-1)).\end{aligned}$같은 방법으로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_4\mathrm{A}_5}=-r^3\vec b$이 되고, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_5$의 좌표 $\displaystyle (x_5,y_5)$는$\displaystyle \begin{aligned}(x_5,y_5)&=\overrightarrow{\mathrm{OA}_5}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_4}+\overrightarrow{\mathrm{A}_4\mathrm{A}_5}=(x_2+r(y_2-1)-r^2x_2,y_2-rx_2-r^2(y_2-1))-r^3(y_2-1,-x_2)\\&=(x_2+r(y_2-1)-r^2x_2-r^3(y_2-1),y_2-rx_2-r^2(y_2-1)+r^3x_2).\end{aligned}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_{2n-1}\mathrm{A}_{2n}}=(-1)^{n-1}r^{2n-2}\vec a$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A}_{2n}\mathrm{A}_{2n+1}}=(-1)^{n+1}r^{2n-1}\vec b$임을 써서 위의 과정을 반복하면, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_n$의 좌표 $\displaystyle (x_n,y_n)$은 $\displaystyle n\to\infty$의 극한에서 등비급수가 포함된 식으로 나타내어지며 그 극한값은 다음과 같다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x_2(1-r^2+r^4-\cdots)+(y_2-1)r(1-r^2+r^4-\cdots)=\frac{x_2+(y_2-1)r}{1+r^2}$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=1+(y_2-1)(1-r^2+r^4-\cdots)-x_2r(1-r^2+r^4-\cdots)=\frac{r^2-x_2r+y_2}{1+r^2}$

3-2. [풀이]선분 $\displaystyle \mathrm{A}_{2n}\mathrm{A}_{2n+1}$가 $\displaystyle y$축과 평행하려면 선분 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$가 $\displaystyle y$축에 수직인 경우에 해당한다.($\displaystyle a=\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2}=|x_2|$)선분 $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$에 의한 원기둥의 옆 면적 $\displaystyle =2\pi a\cdot ar=2\pi a^2r$선분 $\displaystyle \mathrm{A}_4\mathrm{A}_5$에 의한 원기둥의 옆 면적 $\displaystyle =2\pi(a-ar^2)\cdot ar^3=2\pi a^2(r^3-r^5)$선분 $\displaystyle \mathrm{A}_6\mathrm{A}_7$에 의한 원기둥의 옆 면적 $\displaystyle =2\pi(a-ar^2+ar^4)\cdot ar^5=2\pi a^2(r^5-r^7+r^9)$선분 $\displaystyle \mathrm{A}_8\mathrm{A}_9$에 의한 원기둥의 옆 면적$\displaystyle =2\pi(a-ar^2+ar^4-ar^6)\cdot ar^7=2\pi a^2(r^7-r^9+r^{11}-r^{13})$선분 $\displaystyle \mathrm{A}_{10}\mathrm{A}_{11}$에 의한 원기둥의 옆 면적$\displaystyle =2\pi(a-ar^2+ar^4-ar^6+ar^8)\cdot ar^9=2\pi a^2(r^9-r^{11}+r^{13}-r^{15}+r^{17})$선분 $\displaystyle \mathrm{A}_{12}\mathrm{A}_{13}$에 의한 원기둥의 옆 면적$\displaystyle =2\pi(a-ar^2+ar^4-ar^6+ar^8-ar^{10})\cdot ar^{11}=2\pi a^2(r^{11}-r^{13}+r^{15}-r^{17}+r^{19}-r^{21})$

따라서 각 면적을 모두 더하면 다음과 같다.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=2\pi a^2\left\{\begin{aligned}&r\\&\quad+r^3-r^5\\&\quad+r^5-r^7+r^9\\&\quad+r^7-r^9+r^{11}-r^{13}\\&\quad+r^9-r^{11}+r^{13}-r^{15}+r^{17}\\&\quad+r^{11}-r^{13}+r^{15}-r^{17}+r^{19}-r^{21}\\&\quad+\cdots\end{aligned}\right.$이 식에서 세로 줄의 항들이 각각 등비급수를 이루는 것을 알 수 있다. 제시문 <나>를 써서 합을 구하면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty S_n&=2\pi a^2\{r(1+r^2+r^4+\cdots)-r^5(1+r^2+r^4+\cdots)+r^9(1+r^2+r^4+\cdots)-r^{13}(1+r^2+r^4+\cdots)+\cdots\}\\&=2\pi a^2r(1+r^2+r^4+\cdots)(1-r^4+r^8-\cdots)\\&=\frac{2\pi a^2r}{(1+r^4)(1-r^2)}\end{aligned}$

$\displaystyle r=\frac{\sqrt5-1}2$은 이차방정식 $\displaystyle r^2+r-1=0$의 해이다.$\displaystyle r^2=1-r$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=2\pi a^2\frac r{3(1-r)\cdot r}=\frac{2\pi a^2}3\frac1{1-r}=\frac{2\pi(x_2)^2}3\cdot\frac{3+\sqrt5}2$.