자연계열 2번

한양대 에리카캠퍼스 2020학년도 수시 오전 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2020su_am/jayeon_2

[문제 2] 다음 제시문 <가>와 <나>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 합성함수의 미분법두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 가 각각 $\displaystyle u$ , $\displaystyle x$ 에 대하여 미분가능하면 합성함수 $\displaystyle y=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 도 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분 가능하고, 그 도함수는 다음과 같다. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

<나> $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 는 실수 전체 집합에서 미분가능한 함수이고 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle f(x)$ 의 역함수이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 는 다음 성질을 만족한다.① $\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=x$ , $\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=x$ .② 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)>0$ 이다.

2-1. 제시문 <나>의 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle g(2)=1$ 일 때, $\displaystyle f(1)f^{\prime}(1)g^{\prime}(2)$ 의 값을 구하시오. [15점]

2-2. 제시문 <나>의 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle g(2)=1$ 이고, $\displaystyle g(5)=5$ 일 때,정적분 $\displaystyle \int_1^5\frac1{[g^{\prime}(f(x))]^2f^{\prime}(x)}dx$ 의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

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+10점 · 2-1

2-1. [풀이] $\displaystyle f(g(x))=x$ 이므로 $\displaystyle [f(g(x))]^2=x^2$ 이다.양변을 미분하면 제시문 <가>의 합성함수의 미분법에 의해, $\displaystyle 2f(g(x))\cdot f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=2x$

누적 15점 · 2-1

양변에 $\displaystyle x=2$ 를 대입하면 $\displaystyle 2f(1)f^{\prime}(1)g^{\prime}(2)=4$ $\displaystyle f(1)f^{\prime}(1)g^{\prime}(2)=2$ .

+5점 · 2-2

2-2. [풀이] $\displaystyle g(f(x))=x$ 이므로 제시문 <가>의 합성함수의 미분법에 의해, $\displaystyle \frac1{[g^{\prime}(f(x))]^2f^{\prime}(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{[g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)]^2}=f^{\prime}(x)$ .

누적 10점 · 2-2

그러므로 $\displaystyle \int_1^5\frac1{[g^{\prime}(f(x))]^2f^{\prime}(x)}dx=\int_1^5\frac{f^{\prime}(x)}{[g^{\prime}(f(x))\cdot f^{\prime}(x)]^2}dx=\int_1^5f^{\prime}(x)dx=f(5)-f(1)$ .

누적 15점 · 2-2

그런데 $\displaystyle g(2)=1$ , $\displaystyle g(5)=5$ 이므로 $\displaystyle f(5)=5$ , $\displaystyle f(1)=2$ .따라서 구하는 정적분의 값은 $\displaystyle 3$ .

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