자연계열 2번

2-1. [풀이]$\displaystyle f(g(x))=x$이므로 $\displaystyle [f(g(x))]^2=x^2$이다.양변을 미분하면 제시문 <가>의 합성함수의 미분법에 의해,$\displaystyle 2f(g(x))\cdot f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=2x$

양변에 $\displaystyle x=2$를 대입하면$\displaystyle 2f(1)f^{\prime}(1)g^{\prime}(2)=4$$\displaystyle f(1)f^{\prime}(1)g^{\prime}(2)=2$.

2-2. [풀이]$\displaystyle g(f(x))=x$이므로 제시문 <가>의 합성함수의 미분법에 의해,$\displaystyle \frac1{[g^{\prime}(f(x))]^2f^{\prime}(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{[g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)]^2}=f^{\prime}(x)$.

그러므로 $\displaystyle \int_1^5\frac1{[g^{\prime}(f(x))]^2f^{\prime}(x)}dx=\int_1^5\frac{f^{\prime}(x)}{[g^{\prime}(f(x))\cdot f^{\prime}(x)]^2}dx=\int_1^5f^{\prime}(x)dx=f(5)-f(1)$.

그런데 $\displaystyle g(2)=1$, $\displaystyle g(5)=5$이므로 $\displaystyle f(5)=5$, $\displaystyle f(1)=2$.따라서 구하는 정적분의 값은 $\displaystyle 3$.