한양대 에리카캠퍼스 2023학년도 수시 오후1 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t$ ( $\displaystyle t\ge0$ )에서의 속도를 $\displaystyle v(t)$ 라 하자.

<가> 시각 $\displaystyle t=a$ 에서 $\displaystyle t=b$ ( $\displaystyle a\le b$ )까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치의 변화량은 $\displaystyle \int_a^bv(t)dt$

<나> 시각 $\displaystyle t=a$ 에서 $\displaystyle t=b$ ( $\displaystyle a\le b$ )까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 움직인 거리 $\displaystyle s$ 는 $\displaystyle s=\int_a^b|v(t)|dt$

<다> 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t$ ( $\displaystyle t\ge0$ )에서의 속도 $\displaystyle v(t)$ 는 $\displaystyle v(t)=3t^4-12t^2+9$

1-1. 제시문 <다>의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 가속도가 $\displaystyle 0$ 인 시각 $\displaystyle t_0$ ( $\displaystyle t_0>0$ )에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치를 구하시오. [10점]

1-2. 제시문 <다>에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 원점을 출발한 후 처음으로 운동 방향이 바뀌는 시각을 $\displaystyle t_1$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각을 $\displaystyle t_2$ 라 하자. 시각 $\displaystyle t=t_1$ 에서 $\displaystyle t=t_2$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오. (단, $\displaystyle 0<t_1<t_2$ ) [15점]

1-3. 제시문 <다>의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도 $\displaystyle v(t)$ 와 함수 $\displaystyle f(t)=\sqrt t$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle g(x)=\int_0^xv(f(t))dt$ 라 하자. 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ ( $\displaystyle 0<k<4$ )로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 상수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. [15점]

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+10점 · 속도의 식을 미분하여 가속도의 식을 구하고 근을 찾아 가속도가 0이 되는 시각을 찾고 속도의 식을 정적분하여 해당 시각의 위치를 옳게 구하였는가?

1-1

$\displaystyle \frac{dv}{dt}=12t^3-24t=0$ 조건으로부터 $\displaystyle 12t(t^2-2)=0$ , $\displaystyle \therefore t_0=\sqrt2$

$\displaystyle x(t_0)=\int_0^{t_0}v(t)dt=\Biggl[\frac35t^5-4t^3+9t\Biggr]_0^{\sqrt2}=\frac{17\sqrt2}{5}$

+15점 · 속도의 식이 0이 되는 근을 찾고, 속도의 방향이 바뀌는 시각 동안의 움직인 거리를 속도의 식을 정적분하여 옳게 구하였는가?

1-2

$\displaystyle v(t)=3t^4-12t^2+9=3(t^2-1)(t^2-3)=0$ 에서 $\displaystyle \therefore t_1=1,\ t_2=\sqrt3$

움직인 거리 $\displaystyle s=\int_1^{\sqrt3}|v(t)|dt=\int_1^{\sqrt3}(-3t^4+12t^2-9)dt=\frac{28-12\sqrt3}{5}$

+15점 · 정적분으로 표현된 함수의 그래프의 개형을 이해하고 그 특징을 이해하여 해당 곡선과 직선이 둘러싼 넓이가 같도록 하는 직선의 식을 옳게 구하였는가?

1-3

$\displaystyle g(x)=x^3-6x^2+9x=x(x-3)^2$ 의 그래프 개형을 그려보면, $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0$ , $\displaystyle x=1,3$ 에서 두 극값을 갖고, $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=6x-12=0$ , $\displaystyle x=2$ 에서 변곡점을 갖음 $\displaystyle y=g(x)$ 의 그래프는 변곡점 $\displaystyle (2,2)$ 에 대칭이므로 직선 $\displaystyle y=2$ 과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같다. $\displaystyle \therefore k=2$

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자연계열 1번

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