자연계열 1번

1-1

$\displaystyle \frac{dv}{dt}=12t^3-24t=0$ 조건으로부터 $\displaystyle 12t(t^2-2)=0$, $\displaystyle \therefore t_0=\sqrt2$

$\displaystyle x(t_0)=\int_0^{t_0}v(t)dt=\Biggl[\frac35t^5-4t^3+9t\Biggr]_0^{\sqrt2}=\frac{17\sqrt2}{5}$

1-2

$\displaystyle v(t)=3t^4-12t^2+9=3(t^2-1)(t^2-3)=0$에서 $\displaystyle \therefore t_1=1,\ t_2=\sqrt3$

움직인 거리 $\displaystyle s=\int_1^{\sqrt3}|v(t)|dt=\int_1^{\sqrt3}(-3t^4+12t^2-9)dt=\frac{28-12\sqrt3}{5}$

1-3

$\displaystyle g(x)=x^3-6x^2+9x=x(x-3)^2$의 그래프 개형을 그려보면,$\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0$, $\displaystyle x=1,3$에서 두 극값을 갖고,$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=6x-12=0$, $\displaystyle x=2$에서 변곡점을 갖음$\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 변곡점 $\displaystyle (2,2)$에 대칭이므로 직선 $\displaystyle y=2$과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같다.$\displaystyle \therefore k=2$