자연계열 2번

2-1

곡선 $\displaystyle y=\ln x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,\ln a)$와 직선 $\displaystyle y=x$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$라 하자.

두 곡선 $\displaystyle y=\ln x$와 $\displaystyle y=e^x$는 직선 $\displaystyle y=x$에 대칭이다. 또한 직선 $\displaystyle y=x$는 직선 $\displaystyle x+y+k=0$과 수직이므로, $\displaystyle 2d$가 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 최소 길이가 된다. 제시문 <다>에 의해 $\displaystyle d=\frac{|a-\ln a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$이다. $\displaystyle d$를 $\displaystyle a$에 대한 함수로 생각하고 $\displaystyle d(a)=\frac1{\sqrt2}|a-\ln a|$라 하자. $\displaystyle d^{\prime}(a)=\frac1{\sqrt2}\left(1-\frac1a\right)=0$을 만족시키는 $\displaystyle a=1$에서 $\displaystyle d^{\prime}(a)$의 부호를 조사하여 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

제시문 <가>에 의해 $\displaystyle a=1$일 때, 극소이면서 최소이다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle (1,0)$이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 직선 $\displaystyle x+y+k=0$ 위의 점이므로 $\displaystyle k$는 $\displaystyle -1$이 된다.

2-2

$\displaystyle h(x)=x-k\ln x$라 하면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=1-\frac kx$. $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$인 $\displaystyle x=k$에서 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

제시문 <가>에 의해 $\displaystyle x=k$에서 $\displaystyle h(x)$는 극소이면서 최소이다. 모든 양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)\ge0$이려면 최솟값 $\displaystyle h(k)=k-k\ln k\ge0$이어야 하므로 $\displaystyle k\le e$. $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle e$이다.

즉, $\displaystyle h(x)=x-e\ln x$는 $\displaystyle x=e$에서 최솟값 $\displaystyle h(e)=0$이 된다.

따라서 $\displaystyle h(3)=3-e\ln3>0$이므로 $\displaystyle e^3>3^e$이다.