한양대 에리카캠퍼스 2023학년도 수시 오후1 자연계열 2번 해설

[문제 2] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서1) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양( $\displaystyle +$ )에서 음( $\displaystyle -$ )으로 바뀌면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극댓값을 갖는다.2) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음( $\displaystyle -$ )에서 양( $\displaystyle +$ )으로 바뀌면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극솟값을 갖는다.

<나> 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}$ 은 일정한 수에 수렴함이 알려져 있는데, 그 수를 기호 $\displaystyle e$ 와 같이 나타낸다.이때 $\displaystyle e$ 는 무리수이고, 그 값은 $\displaystyle e=2.7182818284\cdots$ 임이 알려져 있다.

<다> 좌표평면에서 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 과 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 이다.

2-1. 두 곡선 $\displaystyle y=\ln x$ 와 $\displaystyle y=e^x$ 이 직선 $\displaystyle x+y+k=0$ 과 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 의 길이가 최소일 때, 상수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. [15점]

2-2. 모든 양의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle x\ge k\ln x$ 가 성립하도록 하는 상수 $\displaystyle k$ 의 최댓값을 구하고, 이 결과를 이용하여 두 실수 $\displaystyle e^3$ 과 $\displaystyle 3^e$ 의 크기를 비교하시오. [15점]

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+15점 · 서로 역함수 관계인 두 식을 이해하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용하여 그 최솟값을 옳게 구하였는가? 미분법을 이용하여 정확한 식을 세우고 구했는가?

2-1

곡선 $\displaystyle y=\ln x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,\ln a)$ 와 직선 $\displaystyle y=x$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$ 라 하자.

두 곡선 $\displaystyle y=\ln x$ 와 $\displaystyle y=e^x$ 는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대칭이다. 또한 직선 $\displaystyle y=x$ 는 직선 $\displaystyle x+y+k=0$ 과 수직이므로, $\displaystyle 2d$ 가 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 의 최소 길이가 된다. 제시문 <다>에 의해 $\displaystyle d=\frac{|a-\ln a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$ 이다. $\displaystyle d$ 를 $\displaystyle a$ 에 대한 함수로 생각하고 $\displaystyle d(a)=\frac1{\sqrt2}|a-\ln a|$ 라 하자. $\displaystyle d^{\prime}(a)=\frac1{\sqrt2}\left(1-\frac1a\right)=0$ 을 만족시키는 $\displaystyle a=1$ 에서 $\displaystyle d^{\prime}(a)$ 의 부호를 조사하여 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$a$	⋯	1	⋯
$d^{\prime}(a)$	−	0	+
$d(a)$	↘	$\frac1{\sqrt2}$	↗

제시문 <가>에 의해 $\displaystyle a=1$ 일 때, 극소이면서 최소이다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 $\displaystyle (1,0)$ 이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 직선 $\displaystyle x+y+k=0$ 위의 점이므로 $\displaystyle k$ 는 $\displaystyle -1$ 이 된다.

+15점 · 주어진 부등식으로부터 적절한 크기 비교식을 유도하고, 해당 식의 최대최소를 그래프의 개형을 통해 이해하여 부등식을 만족하는 상수를 옳게 찾았는가? 이 결과를 활용하여 주어진 두 수의 대소 비교를 옳게 하였는가?

2-2

$\displaystyle h(x)=x-k\ln x$ 라 하면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=1-\frac kx$ . $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$ 인 $\displaystyle x=k$ 에서 $\displaystyle h(x)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	⋯	$k$	⋯
$h^{\prime}(x)$	−	0	+
$h(x)$	↘	$k-k\ln k$	↗

제시문 <가>에 의해 $\displaystyle x=k$ 에서 $\displaystyle h(x)$ 는 극소이면서 최소이다. 모든 양수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle h(x)\ge0$ 이려면 최솟값 $\displaystyle h(k)=k-k\ln k\ge0$ 이어야 하므로 $\displaystyle k\le e$ . $\displaystyle k$ 의 최댓값은 $\displaystyle e$ 이다.

즉, $\displaystyle h(x)=x-e\ln x$ 는 $\displaystyle x=e$ 에서 최솟값 $\displaystyle h(e)=0$ 이 된다.

따라서 $\displaystyle h(3)=3-e\ln3>0$ 이므로 $\displaystyle e^3>3^e$ 이다.

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자연계열 2번

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