자연계열 3번

3-1

[풀이] 정수를 $\displaystyle 3$으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 5$로 나누었을 때의 나머지보다 큰 경우는 주어진 정수를(i) $\displaystyle 3$으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 1$이고 $\displaystyle 5$로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 0$인 경우(ii) $\displaystyle 3$으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 2$이고 $\displaystyle 5$로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 0$인 경우(iii) $\displaystyle 3$으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 2$이고 $\displaystyle 5$로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 1$인 경우가 있다.

(i)의 경우의 정수는 $\displaystyle 10+15k$ ($\displaystyle k$은 정수)형태이고$\displaystyle 5000\le10+15k\le10000,\quad332+\frac23\le k\le666$이므로 이를 만족하는정수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 333\le k\le666$이므로 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 334$개이다.

(ii)의 경우의 정수는 $\displaystyle 5+15k$ ($\displaystyle k$은 정수)형태이고$\displaystyle 5000\le5+15k\le10000,\quad332\le k\le666+\frac13$이므로 이를 만족하는Correction. $\displaystyle k$의 범위에 적힌 하한 $\displaystyle 332$는 $\displaystyle 333$의 오기이다.$\displaystyle 5000\le5+15k\quad\Longrightarrow\quad k\ge333$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.정수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 333\le k\le666$이므로 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 334$개다.

(iii)의 경우의 정수는 $\displaystyle 11+15k$ ($\displaystyle k$은 정수)형태이고$\displaystyle 5000\le11+15k\le10000,\quad332+\frac8{15}\le k\le665+\frac{14}{15}$이므로 이를 만족하는Correction. $\displaystyle 332+\frac8{15}$는 $\displaystyle 332+\frac9{15}$의 오기이다.$\displaystyle \frac{5000-11}{15}=332+\frac9{15}$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.정수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 333\le k\le665$이므로 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 333$개이다.

(i),(ii),(iii) 경우를 모두 더하면 $\displaystyle 334+334+333=1001$이다.

3-2

[풀이]

$\displaystyle N$은 양의 정수이므로 소인수분해하면 $\displaystyle N=2^{m_1}3^{m_2}5^{m_3}\cdots$로 나타낼 수 있다.$\displaystyle 10$으로 나누어 떨어지지 않는 수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle N=10^n\times k$라 하면$\displaystyle 10=5\times2$이고 일반적인 $\displaystyle n!$에서 $\displaystyle 2$의 배수가 $\displaystyle 5$의 배수보다 많으므로 $\displaystyle m_1>m_3$이다.Caution. 이 문제의 $\displaystyle N$은 두 팩토리얼의 몫이므로, 분자와 분모의 인수 개수를 뺀 뒤 비교해야 한다. $\displaystyle N$에 남는 인수 $\displaystyle 2$는 $\displaystyle 994-2\times494=6$개이고, 인수 $\displaystyle 5$는 $\displaystyle 249-2\times124=1$개이므로 $\displaystyle m_1>m_3$이다.그래서, $\displaystyle n$값은 $\displaystyle m_3$의 값과 같아야 한다.즉 $\displaystyle n$은 $\displaystyle N$에 인수 $\displaystyle 5$의 개수이다.

$\displaystyle 1000!=1\times2\times3\times\cdots\times1000$이므로 $\displaystyle 1,2,\ldots,1000$ 중$\displaystyle 5$의 배수는 $\displaystyle 5,10,\ldots,1000$, $\displaystyle 1000=5\times200$이므로 $\displaystyle 200$개$\displaystyle 5^2=25$의 배수는 $\displaystyle 25,50,\ldots,1000$, $\displaystyle 1000=25\times40$이므로 $\displaystyle 40$개$\displaystyle 5^3=125$의 배수는 $\displaystyle 125,250,\ldots,1000$, $\displaystyle 1000=125\times8$이므로 $\displaystyle 8$개$\displaystyle 5^4=625$의 배수는 $\displaystyle 625$뿐이므로 $\displaystyle 1$개따라서, 인수 $\displaystyle 5$의 개수는 $\displaystyle 200+40+8+1=249$이다.따라서 $\displaystyle 1000!$은 인수 $\displaystyle 5$의 개수가 $\displaystyle 249$이다.

$\displaystyle 500!=1\times2\times3\times\cdots\times500$이므로 $\displaystyle 1,2,\ldots,500$ 중$\displaystyle 5$의 배수는 $\displaystyle 5,10,\ldots,500$, $\displaystyle 500=5\times100$이므로 $\displaystyle 100$개$\displaystyle 5^2=25$의 배수는 $\displaystyle 25,50,\ldots,500$, $\displaystyle 500=25\times20$이므로 $\displaystyle 20$개$\displaystyle 5^3=125$의 배수는 $\displaystyle 125,250,\ldots,500$, $\displaystyle 500=125\times4$이므로 $\displaystyle 4$개따라서, 인수 $\displaystyle 5$의 개수는 $\displaystyle 100+20+4=124$이다.그러므로 $\displaystyle 500!\times500!$는 인수 $\displaystyle 5$의 개수가 $\displaystyle 124\times2=248$이다.

$\displaystyle 249-248=1$이므로 $\displaystyle N=\frac{1000!}{500!\times500!}=10k$라 할 수 있고 $\displaystyle n=1$이다.