수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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한양대 에리카캠퍼스 2023학년도 수시 오후2 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2023su_pm2/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 삼각함수의 성질sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\quad1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,\quad1+\cot^2\theta=\csc^2\theta

<나> 미분가능한 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 g(a)=α\displaystyle g(a)=\alpha, g(b)=β\displaystyle g(b)=\beta일 때, 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(g(x))g′(x)dx=∫αβf(t)dt\displaystyle \int_a^bf(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt

<다> 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 In=∫0π4tan⁡nx dx\displaystyle I_n=\int_0^{\frac\pi4}\tan^nx\,dx이고, 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 an=In−In+1+In+2−In+3\displaystyle a_n=I_n-I_{n+1}+I_{n+2}-I_{n+3}을 만족시킨다.

1-1. 정적분 ∫0π4tan⁡xsec⁡2x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\tan x\sec^2x\,dx의 값을 구하시오. [10점]

1-2. 제시문 <다>에서 a1+a2\displaystyle a_1+a_2의 값을 구하시오. [15점]

1-3. 제시문 <다>의 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}에 대하여 급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2023학년도 수시 오후2 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2023su_pm2/jayeon_1

+10점 · 삼각함수의 성질과 치환적분을 이용하여 정적분의 값을 옳게 구하였는가?

1-1

제시문 <나>에서 tan⁡x=t\displaystyle \tan x=t로 놓으면 dtdx=sec⁡2x\displaystyle \frac{dt}{dx}=\sec^2x이고, x=0\displaystyle x=0일 때 t=0\displaystyle t=0, x=π4\displaystyle x=\frac\pi4일 때 t=1\displaystyle t=1이므로

∫0π4tan⁡xsec⁡2x dx=∫01t dt=[12t2]01=12\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\tan x\sec^2x\,dx=\int_0^1t\,dt=\Biggl[\frac12t^2\Biggr]_0^1=\frac12

+15점 · 상황에 맞는 삼각함수의 성질을 정적분에 적용하여 정확히 답을 구했는가? 주어진 식을 적절히 변형하여 삼각함수의 관계식을 구하여 치환적분하여 첫째항과 둘째항을 옳게 구하였는가?

1-2

a1=∫0π4tan⁡x dx−∫0π4tan⁡2x dx+∫0π4tan⁡3x dx−∫0π4tan⁡4x dx=∫0π4tan⁡x(1+tan⁡2x) dx−∫0π4tan⁡2x(1+tan⁡2x) dx=∫0π4tan⁡xsec⁡2x dx−∫0π4tan⁡2xsec⁡2x dx\displaystyle \begin{aligned}a_1&=\int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^2x\,dx+\int_0^{\frac\pi4}\tan^3x\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^4x\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi4}\tan x(1+\tan^2x)\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^2x(1+\tan^2x)\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi4}\tan x\sec^2x\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^2x\sec^2x\,dx\end{aligned}

문항 1-1과 같이 tan⁡x=t\displaystyle \tan x=t로 치환하여 계산하면

a1=12−13\displaystyle a_1=\frac12-\frac13

a2=∫0π4tan⁡2x dx−∫0π4tan⁡3x dx+∫0π4tan⁡4x dx−∫0π4tan⁡5x dx=∫0π4tan⁡2x(1+tan⁡2x) dx−∫0π4tan⁡3x(1+tan⁡2x) dx=∫0π4tan⁡2xsec⁡2x dx−∫0π4tan⁡3xsec⁡2x dx\displaystyle \begin{aligned}a_2&=\int_0^{\frac\pi4}\tan^2x\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^3x\,dx+\int_0^{\frac\pi4}\tan^4x\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^5x\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi4}\tan^2x(1+\tan^2x)\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^3x(1+\tan^2x)\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi4}\tan^2x\sec^2x\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^3x\sec^2x\,dx\end{aligned}

문항 1-1과 같이 tan⁡x=t\displaystyle \tan x=t로 치환하여 계산하면

a2=13−14\displaystyle a_2=\frac13-\frac14이므로 a1+a2=(12−13)+(13−14)=14\displaystyle a_1+a_2=\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)=\frac14이다.

+15점 · 주어진 식을 적절히 변형하고 삼각함수의 관계식으로 치환적분하여 급수의 부분합을 구하고 급수의 합을 이해하여 규칙성을 찾고 그 극한값을 옳게 구하였는가?

1-3

주어진 급수의 제n\displaystyle n항까지의 부분합은 ∑k=1nak=I1+I3−In+1−In+3\displaystyle \sum_{k=1}^na_k=I_1+I_3-I_{n+1}-I_{n+3}이다. 따라서

∑n=1∞an=lim⁡n→∞(∫0π4tan⁡xsec⁡2x dx−∫0π4tan⁡n+1xsec⁡2x dx)=lim⁡n→∞(12−1n+2)=12\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty a_n&=\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^{\frac\pi4}\tan x\sec^2x\,dx-\int_0^{\frac\pi4}\tan^{n+1}x\sec^2x\,dx\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac12-\frac1{n+2}\right)\\&=\frac12\end{aligned}

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