자연계열 2번

2-1

두 직선 $\displaystyle y=2$, $\displaystyle y=4$이 두 지수함수와 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -2,-1,\log_2\frac43,2$이다.

$\displaystyle x$좌표 $\displaystyle [-2,2]$, $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle [2,4]$의 직사각형에서 지수함수 바깥부분의 넓이를 빼면

$\displaystyle S=8-\int_{-2}^{-1}(2^{-x}-2)dx-\int_{2-\log_23}^2(2^{-x+2}-1)dx=10-3\log_23$

2-2

기울기가 $\displaystyle \frac12$인 직선이 지나는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt5$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle 2$만큼, $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle 1$만큼 이동한 점이 $\displaystyle \mathrm{Q}$이다.점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle (a,-\log_2a)$라고 하면, $\displaystyle (a+2,1-\log_2a)$이 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$이므로,$\displaystyle y=-\log_2(x-1)+2$ 직선 위에 있다.Correction. $\displaystyle y=-\log_2(x-1)+2$의 그래프를 가리킨 “직선”은 “곡선”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 1-\log_2a=-\log_2(a+1)+2\quad\therefore a=1$점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle (1,0)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle (3,1)$이다.이 두 점을 지나는 기울기 $\displaystyle \frac12$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac12x-\frac12\quad\therefore k=-\frac12$