한양대 에리카캠퍼스 2023학년도 수시 오후2 자연계열 2번 해설

[문제 2] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> $\displaystyle a$ 가 $\displaystyle 1$ 이 아닌 양수일 때, 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle a^x$ 의 값을 대응시키는 함수 $\displaystyle y=a^x$ 을 $\displaystyle a$ 를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

<나> 지수함수 $\displaystyle y=a^x$ ( $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle a\ne1$ )의 역함수 $\displaystyle y=\log_ax$ 를 $\displaystyle a$ 를 밑으로 하는 로그함수라 한다.

<다> 함수 $\displaystyle y=2^{-x}$ 의 그래프와 함수 $\displaystyle y=2^{-x+2}+1$ 의 그래프는 만나지 않는다.

2-1. 제시문 <다>의 두 곡선 $\displaystyle y=2^{-x}$ 과 $\displaystyle y=2^{-x+2}+1$ 및 두 직선 $\displaystyle y=2$ , $\displaystyle y=4$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [15점]

2-2. 제시문 <다>의 함수 $\displaystyle y=2^{-x}$ 의 역함수를 $\displaystyle f(x)$ , 함수 $\displaystyle y=2^{-x+2}+1$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 하자. 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=\frac12x+k$ 가 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt5$ 일 때, 상수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. [15점]

한양대 에리카캠퍼스 2023학년도 수시 오후2 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2023su_pm2/jayeon_2

+15점 · 주어진 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 지수함수의 정적분 또는 역함수의 성질을 활용한 로그함수의 정적분으로 옳게 구하였는가?

2-1

두 직선 $\displaystyle y=2$ , $\displaystyle y=4$ 이 두 지수함수와 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -2,-1,\log_2\frac43,2$ 이다.

$\displaystyle x$ 좌표 $\displaystyle [-2,2]$ , $\displaystyle y$ 좌표 $\displaystyle [2,4]$ 의 직사각형에서 지수함수 바깥부분의 넓이를 빼면

$\displaystyle S=8-\int_{-2}^{-1}(2^{-x}-2)dx-\int_{2-\log_23}^2(2^{-x+2}-1)dx=10-3\log_23$

+15점 · 주어진 함수의 역함수를 옳게 구하고 직선과 만나는 점의 길의 관계로부터 교점의 위치를 옳게 구하고 직선의 식을 맞게 구하였는가?

2-2

기울기가 $\displaystyle \frac12$ 인 직선이 지나는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt5$ 이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 $\displaystyle x$ 축으로 $\displaystyle 2$ 만큼, $\displaystyle y$ 축으로 $\displaystyle 1$ 만큼 이동한 점이 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 이다.점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표를 $\displaystyle (a,-\log_2a)$ 라고 하면, $\displaystyle (a+2,1-\log_2a)$ 이 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 이므로, $\displaystyle y=-\log_2(x-1)+2$ 직선 위에 있다.Correction. $\displaystyle y=-\log_2(x-1)+2$ 의 그래프를 가리킨 “직선”은 “곡선”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle 1-\log_2a=-\log_2(a+1)+2\quad\therefore a=1$ 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표는 $\displaystyle (1,0)$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\displaystyle (3,1)$ 이다.이 두 점을 지나는 기울기 $\displaystyle \frac12$ 인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac12x-\frac12\quad\therefore k=-\frac12$

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 2번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개