자연계열 3번

3-1

해당 수열은 $\displaystyle \{3,1,4,5,9,14,23,37,60,\cdots\}$로 첫 항 이후, 매 네 번째 항이 $\displaystyle 3$의 배수임을 알 수 있다. (첫 두 항을 $\displaystyle 3k,3l+1$으로 하여 일반적으로 $\displaystyle 4$의 주기를 가지고 $\displaystyle 3$의 배수가 나타남을 보일 수도 있음)$\displaystyle a_1$이 $\displaystyle 3$의 배수이므로 $\displaystyle 4n-3$ ($\displaystyle n$은 자연수) 번째 항이 $\displaystyle 3$의 배수이다.$\displaystyle n=506$일 때 $\displaystyle 4n-3=2021$이므로 $\displaystyle 3$의 배수의 개수는 $\displaystyle 506$개 이다.

3-2

$\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$의 관계를 갖는 수열은 연속된 네 항 중에 $\displaystyle 3$의 배수가 반드시 나타난다.어떤 한 항이 $\displaystyle 3$의 배수이고, 다른 $\displaystyle 3$의 거듭제곱의 배수가 아니면, $\displaystyle a_m=3k$ (단, $\displaystyle k$는 $\displaystyle 3$의 배수가 아님)$\displaystyle m$번째 항부터 그 이후 항은 수열의 귀납적 정의에 따라 $\displaystyle 3k,k,4k,5k,9k,3k,k,\cdots$ 다섯 개의 항이 반복된다.$\displaystyle a_{20}$인 $\displaystyle 50$은 $\displaystyle 3$의 배수가 아니고 $\displaystyle 5$의 배수이므로 위의 주기적인 수열에서 가능한 항은 $\displaystyle k$ 또는 $\displaystyle 5k$이다.$\displaystyle a_{20}=50$에서 그 뒤 세 번째 항의 가장 클 수 있는 경우는 $\displaystyle k=50$이고 그 이후 세 번째 항은 $\displaystyle 9k$인 $\displaystyle 450$으로 $\displaystyle a_{23}=450$.$\displaystyle a_{20}=50$에서 그 뒤 세 번째 항의 가장 작을 수 있는 경우는 $\displaystyle 5k=50$이고, 그 이후 세 번째 항은 $\displaystyle k$인 $\displaystyle 10$이므로 $\displaystyle a_{23}=10$.