자연계열 1-1번

$\displaystyle 2n+1$개의 홀수 중에서 $\displaystyle n$개 이하의 홀수를 선택하는 경우의 수는$\displaystyle {}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n}=\frac{1}{2}({}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1})=\frac{1}{2}2^{2n+1}=2^{2n}$.

$\displaystyle 2n+1$개의 짝수 중에서 $\displaystyle t$개의 짝수를 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{2n+1}\mathrm{C}_{t}$이다.

따라서 문제에 제시된 조건을 만족하는 $\displaystyle A$의 부분집합들의 개수는$\displaystyle \begin{aligned}&{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+1}\times2^{2n}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+2}\times2^{2n}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1}\times2^{2n}\\&=\frac{1}{2}({}_{2n+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n}+\cdots+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1})\times2^{2n}=\frac{1}{2}2^{2n+1}\times2^{2n}=2^{4n}.\end{aligned}$