수리논술, 이게 다다.

자연계열 2-3번

오류 제보
해설강의 바로가기 ↓

한양대 서울캠퍼스 2024학년도 모의 자연계열 2-3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2024mo/jayeon_2_3

이전 문제
배점30점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

각 면에 1,2,3,4\displaystyle 1, 2, 3, 4 네 개의 수가 각각 하나씩 적혀있는 정사면체 주사위 A와각 면에 1,2,3,4,5,6\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6 여섯 개의 수가 각각 하나씩 적혀있는 정육면체 주사위 B를한 번씩 던질 때마다, 다음과 같은 규칙으로 수직선 위의 점 P를 이동시킨다.

(i) 주사위 A를 던져 바닥에 닿는 면에 적혀있는 수를 3\displaystyle 3으로 나눈 나머지가 1\displaystyle 1이면양의 방향으로 1\displaystyle 1만큼 이동하고, 3\displaystyle 3으로 나눈 나머지가 2\displaystyle 2이면 음의 방향으로 2\displaystyle 2만큼 이동하고,적혀있는 수가 3\displaystyle 3의 배수이면 양의 방향으로 3\displaystyle 3만큼 이동한다.

(ii) 주사위 B를 던져 바닥에 닿는 면에 적혀있는 수가 3\displaystyle 3의 배수이면 양의 방향으로 1\displaystyle 1만큼이동하고, 3\displaystyle 3의 배수가 아니면 음의 방향으로 2\displaystyle 2만큼 이동한다.

주사위 A와 주사위 B를 함께 던지는 시행을 세 번 반복한 후, 수직선의 원점에서 출발한점 P가 규칙대로 이동하여 도착한 점이 나타내는 수의 기댓값을 구하시오.

한양대 서울캠퍼스 2024학년도 모의 자연계열 2-3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2024mo/jayeon_2_3

+20점 · 경우의 수와 확률을 구했는가?

정사면체 주사위 A와 정육면체 주사위 B를 함께 한 번 던지는 시행을 했을 때,다음과 같은 경우의 수를 갖는다.

주사위 A주사위 B점 P의 위치변화
1,4\displaystyle 1, 43,6\displaystyle 3, 6+1+1=+2\displaystyle +1+1=+2
1,4\displaystyle 1, 41,2,4,5\displaystyle 1, 2, 4, 5+1−2=−1\displaystyle +1-2=-1
2\displaystyle 23,6\displaystyle 3, 6−2+1=−1\displaystyle -2+1=-1
2\displaystyle 21,2,4,5\displaystyle 1, 2, 4, 5−2−2=−4\displaystyle -2-2=-4
3\displaystyle 33,6\displaystyle 3, 6+3+1=+4\displaystyle +3+1=+4
3\displaystyle 31,2,4,5\displaystyle 1, 2, 4, 5+3−2=+1\displaystyle +3-2=+1

주사위 A와 주사위 B의 눈이 나오는 사건은 독립사건이므로 각 확률의 곱을 통해 확률을 구할 수 있다.주사위 A와 주사위 B를 함께 한 번 던지는 시행을 했을 때 점 P의 위치변화를 확률변수 X\displaystyle X라고 하면,확률분포는 다음과 같다.P(X=−4)=14×46=16,P(X=−1)=24×46+14×26=512\displaystyle \mathrm{P}(X=-4)=\frac{1}{4}\times\frac{4}{6}=\frac{1}{6},\qquad \mathrm{P}(X=-1)=\frac{2}{4}\times\frac{4}{6}+\frac{1}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{5}{12}P(X=+1)=14×46=16,P(X=+2)=24×26=16,P(X=+4)=14×26=112\displaystyle \mathrm{P}(X=+1)=\frac{1}{4}\times\frac{4}{6}=\frac{1}{6},\qquad \mathrm{P}(X=+2)=\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6},\qquad \mathrm{P}(X=+4)=\frac{1}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{12}

+10점 · 확률변수의 성질을 이용하여 기댓값을 구했는가?

기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)는 다음과 같이 구할 수 있다.E(X)=(−4)×16+(−1)×512+1×16+2×16+4×112=−14\displaystyle \mathrm{E}(X)=(-4)\times\frac{1}{6}+(-1)\times\frac{5}{12}+1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{12}=-\frac{1}{4}정사면체 주사위 A와 정육면체 주사위 B를 함께 던지는 시행을 세 번 반복했을 때,원점에서 시작한 점 P의 위치의 기댓값은 E(3X)\displaystyle \mathrm{E}(3X)이므로 E(3X)=3E(X)=−34\displaystyle \mathrm{E}(3X)=3\mathrm{E}(X)=-\frac{3}{4}이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.