자연계열 1-3번

점 D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하고, 점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H′라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{DA}}\cos\angle\mathrm{DAB}=5\times\frac{3}{5}=3,\quad\overline{\mathrm{DH}}=\overline{\mathrm{DA}}\sin\angle\mathrm{DAB}=5\times\frac{4}{5}=4$$\displaystyle 4=\overline{\mathrm{DH}}=\overline{\mathrm{CH^{\prime}}}=\overline{\mathrm{BC}}\sin(\pi-\angle\mathrm{BCD})=\overline{\mathrm{BC}}\sin\angle\mathrm{BCD}=\overline{\mathrm{BC}}\times\frac{2}{\sqrt{5}}$, 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{5}$따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{H^{\prime}B}}=\overline{\mathrm{BC}}\cos(\pi-\angle\mathrm{BCD})=-2\sqrt{5}\cos\angle\mathrm{BCD}=2\sqrt{5}\times\frac{1}{\sqrt{5}}=2$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AH}}+\overline{\mathrm{CD}}+\overline{\mathrm{H^{\prime}B}}=3+1+2=6.$

점 A가 원점, 선분 AB가 $\displaystyle x$축에 놓여있다고 하면, 점 A의 좌표는 $\displaystyle (0,0)$, 점 B의 좌표는 $\displaystyle (6,0)$, 점 C의 좌표는 $\displaystyle (4,4)$, 점 D의 좌표는 $\displaystyle (3,4)$이다. 점 P의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면, $\displaystyle (\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})\cdot(2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}})=\frac{67}{8}$로부터$\displaystyle \begin{aligned}((x,y)+(x-4,y-4))\cdot(2(x-6,y)+(x-3,y-4))&=(2x-4,2y-4)\cdot(3x-15,3y-4)\\&=(2x-4)(3x-15)+(2y-4)(3y-4)=\frac{67}{8}\end{aligned}$즉, $\displaystyle \left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{541}{144}$이다. 따라서 점 P는 중심이 점 $\displaystyle \mathrm{Q}\left(\frac{7}{2},\frac{5}{3}\right)$이고 반지름이 $\displaystyle \frac{\sqrt{541}}{12}$인 원 위에 있다.

$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$의 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}+\frac{\sqrt{541}}{12}=\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{541}}{12}=\frac{\sqrt{541}}{6}+\frac{\sqrt{541}}{12}=\frac{\sqrt{541}}{4}$