상경계열 2번

1. (1) 이차방정식의 근은 $\displaystyle x=-b\pm\sqrt{b^{2}-c}$이므로 실수인 중근을 가지는 조건은 $\displaystyle b^{2}-c=0$이다.이때, 곡선 $\displaystyle C$와 정사각형 K의 윗변으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle a(r)$는$\displaystyle 2r\sqrt{r}-\int_{-\sqrt{r}}^{\sqrt{r}}b^{2}\,db=2r\sqrt{r}-\left.\frac{1}{3}b^{3}\right|_{-\sqrt{r}}^{\sqrt{r}}=2r\sqrt{r}-\frac{2}{3}r\sqrt{r}=\frac{4}{3}r\sqrt{r}$이다. 따라서 구하고자 하는 $\displaystyle \frac{a(r)}{k(r)}$는$\displaystyle \left(\frac{4}{3}r\sqrt{r}\right)/(4r^{2})=\frac{1}{3\sqrt{r}}$이다.

(2) 극한값 $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\frac{k(r)-a(r)}{k(r)}$은 $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\left(1-\frac{a(r)}{k(r)}\right)=\lim_{r\to\infty}\left(1-\frac{1}{3\sqrt{r}}\right)=1$이 된다.

2. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle a_{n}=4a_{n-1}^{3}$임을 알 수 있다. $\displaystyle x=a_{1}$이라고 두자.그러면 $\displaystyle a_{2}=4x^{3},\quad a_{3}=4(4x^{3})^{3}=4^{1+3}x^{9},\quad a_{4}=4(4^{1+3}x^{9})^{3}=4^{1+3+9}x^{27},\quad a_{5}=4(4^{1+3+9}x^{27})^{3}=4^{1+3+9+27}x^{81}$이다.등비수열의 합에 의해 $\displaystyle 1+3+\cdots+3^{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2}$임을 알 수 있다.

그러므로 $\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}=4^{1+(1+3)+(1+3+9)+(1+3+9+27)}x^{1+3+9+27+81}=4^{1+4+13+40}x^{121}=4^{58}x^{121}=2^{116}x^{121}$이다.주어진 조건에 의해 $\displaystyle x^{121}=2^{358-116}=2^{242}$이고, $\displaystyle x=4$이다.그러므로 $\displaystyle a_{6}=4(4^{1+3+9+27}x^{81})^{3}=4^{1+3+9+27+81}x^{243}=4^{364}=2^{728}$이다.

3. 우선 $\displaystyle 4$개 팀이 참여하므로 이 대회에서 치러야 할 총 경기 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$경기이다. 따라서 $\displaystyle 1,2,3,4$번 팀이 거둘 수 있는 총 승수의 합은 $\displaystyle 6$이다. $\displaystyle 1$번 팀은 번호가 작아 $\displaystyle 1$번 팀보다 적은 승수를 기록한 팀만 없으면 이 팀은 $\displaystyle 4$위를 차지하게 된다. 따라서 (i) $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 0$승을 거둔 경우, (ii) $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 1$승을 거두고 $\displaystyle 0$승을 거둔 팀이 없는 경우 두 가지만 생각하면 된다. $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 2$승 이상을 거두게 되면 나머지 $\displaystyle 3$팀이 가질 수 있는 승수의 합이 $\displaystyle 4$ 이하이므로 적어도 한 팀은 $\displaystyle 1$승 이하를 기록하게 된다. 따라서 고려 대상에서 제외된다. $\displaystyle X$를 $\displaystyle 1$번 팀이 대회에서 거둔 승수라고 생각하면 이는 확률변수가 되고 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(3,\frac{1}{2}\right)$를 따르게 된다.

(i) $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 0$승으로 $\displaystyle 4$위를 기록할 확률은 $\displaystyle P(X=0)={}_{3}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{3-0}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}=\frac{4}{32}$이다.

(ii) $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 1$승을 거두고 $\displaystyle 0$승을 거둔 팀이 없을 확률을 구하기 위해 해당 상황에서 $\displaystyle 1$번 팀에게 패배한 팀이 나머지 두 경기에서 거둔 승수를 $\displaystyle Y$라고 하자. 이는 확률변수가 되고 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(2,\frac{1}{2}\right)$를 따르게 된다. $\displaystyle A$를 $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 1$승을 거둘 사건, $\displaystyle B$를 $\displaystyle 1$번 팀에게 패배한 팀이 나머지 두 경기에서 $\displaystyle 1$승 이상 거둘 사건이라고 한다면, 두 사건은 독립이므로 $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 1$승을 거두고 $\displaystyle 0$승을 거둔 팀이 없을 확률은 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A)P(B)=P(X=1)\{1-P(Y=0)\}\\&={}_{3}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{3-1}\times\left\{1-{}_{2}\mathrm{C}_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{2-0}\right\}=\frac{3}{8}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{32}.\end{aligned}$따라서 $\displaystyle 1$번 팀이 $\displaystyle 4$위가 될 확률은 $\displaystyle \frac{4}{32}+\frac{9}{32}=\frac{13}{32}$이다.