자연계열 2-1번

점 H는 점 P의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이므로 점 P에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발이다. 따라서 사면체의 부피는 $\displaystyle \frac{1}{3}\times(\text{삼각형 ABH의 넓이})\times\overline{\mathrm{PH}}$이다. 현 AB와 수직인 원의 지름을 CD라 하자. 단, 현 AB와 지름 CD의 교점 M은 선분 CO 위에 있다고 하자.

먼저 사면체 ABPH의 부피가 최대이면 수선의 발 H는 적어도 지름 CD 위에 있어야 한다. 만약 수선의 발 H가 지름 CD 위에 있지 않으면, 점 H를 지나고 현 AB와 평행한 직선과 지름 CD의 교점 H′이라 하고, H′을 수선의 발로 하는 구면 위의 점을 P′이라 할 때, 사면체 ABP′H′의 부피는 사면체 ABPH의 부피보다 크게 되어 모순이다 (아래 첫 번째 그림 참조).

더욱이 수선의 발 H는 선분 OD 위에 있어야 한다. 만약 수선의 발 H가 선분 CO 위에 있다면, $\displaystyle \overline{\mathrm{DH^{\prime\prime}}}=\overline{\mathrm{CH}}$를 만족시키는 선분 OD 위의 점을 H″이라 하고, 점 H″를 수선의 발로 하는 구면 위의 점을 P″이라 할 때, 사면체 ABP″H″의 부피는 사면체 ABPH의 부피보다 크게 되어 모순이다 (아래 두 번째 그림 참조).

이제 수선의 발 H는 선분 OD 위에 있으므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}=t$ (단, $\displaystyle 0<t<1$)라 하고, 사면체의 부피를 $\displaystyle f(t)$라 하면$\displaystyle f(t)=\frac{1}{3}\times(\text{삼각형 ABH의 넓이})\times\overline{\mathrm{PH}}$이므로, 위 세 번째, 네 번째 그림에서,$\displaystyle f(t)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times\left(\frac{1}{2}+t\right)\times\sqrt{1-t^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{12}(2t+1)\sqrt{1-t^{2}}$이고

$\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{\sqrt{3}(4t^{2}+t-2)}{12\sqrt{1-t^{2}}}=0$일 때, $\displaystyle t=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$이다.오른쪽 변화표에서 사면체 ABPH의 부피 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$일 때 최댓값을 알 수 있다.이때 삼각형 ABH의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times\left(\frac{1}{2}+\frac{-1+\sqrt{33}}{8}\right)=\frac{3}{16}(\sqrt{3}+\sqrt{11})$이다.